Спектральная асимметрия

редактировать

В математике и физике, спектральная асимметрия представляет собой асимметрию в распределении спектра собственных значений оператора оператора. В математике спектральная асимметрия возникает при изучении эллиптических операторов на компактных многообразиях и получает глубокий смысл в теореме об индексе Атьи-Зингера. В физике он имеет множество приложений, обычно приводящих к дробному заряду из-за асимметрии спектра оператора Дирака. Например, математическое ожидание для барионного числа задается спектральной асимметрией гамильтонова оператора. Спектральная асимметрия ограниченных полей кварка является важным свойством модели кирального мешка. Для фермионов он известен как индекс Виттена и может пониматься как описывающий эффект Казимира для фермионов.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 Обсуждение
4 Ссылки

Определение

Для оператора с собственными значениями $ω n {\ displaystyle \ omega _ {n}}$ $\ omega _ {n}$ , равное количество которых являются положительными и отрицательными, спектральная асимметрия может быть определена как сумма

B = lim t → 0 1 2 ∑ n sign ⁡ (ω N) ехр ⁡ (- T | ω N |) {\ Displaystyle B = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n} \ operatorname {sgn} (\ omega _ {n}) \ exp (-t | \ omega _ {n} |)}

{\ displaystyle B = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1 } {2}} \ sum _ {n} \ operatorname {sgn} (\ omega _ {n}) \ exp (-t | \ omega _ {n} |)}

где $sgn ⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x)}$ $\ operatorname {sgn} (x)$ - знаковая функция . Могут использоваться другие регуляторы , такие как регулятор дзета-функции.

Необходимость в определении как положительного, так и отрицательного спектра является причиной того, почему спектральная асимметрия обычно возникает при изучении операторов Дирака.

Пример

В качестве примера рассмотрим оператор со спектром

ω n = n + α {\ displaystyle \ omega _ {n} = n + \ alpha}

{\ displaystyle \ omega _ {n} = n + \ alpha}

, где n - целое число, охватывающее все положительные и отрицательные значения. Можно прямо показать, что в этом случае $B (α) {\ displaystyle B (\ alpha)}$ ${\ displaystyle B ( \ alpha)}$ подчиняется $B (α) = B (α + m) {\ displaystyle B (\ alpha) = B (\ alpha + m)}$ ${\ displaystyle B (\ alpha) = B (\ alpha + m)}$ для любого целого числа $m {\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ , а для $0 < α < 1 {\displaystyle 0<\alpha <1}$ ${\ displaystyle 0 <\ alpha <1}$ мы имеем $В (α) знак равно 1/2 - α {\ Displaystyle В (\ альфа) = 1/2- \ альфа}$ ${\ displaystyle B (\ alpha) = 1 / 2- \ alpha}$ . График $B (α) {\ displaystyle B (\ alpha)}$ ${\ displaystyle B ( \ alpha)}$ , следовательно, является периодической пилообразной кривой.

Обсуждение

Спектральная асимметрия связана с вакуумным математическим ожиданием энергии, связанной с оператором, энергией Казимира, которая определяется как

E = lim t → 0 1 2 ∑ n | ω n | ехр ⁡ (- T | ω N |) {\ Displaystyle E = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n} | \ omega _ {n} | \ exp (-t | \ omega _ {n} |)}

{\ displaystyle E = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n} | \ omega _ {n} | \ exp (-t | \ omega _ {n} |)}

Эта сумма формально расходится, и расхождения должны быть учтены и устранены с использованием стандартных методов регуляризации.

Литература

MF Atiyah, VK Patodi и IM Singer, Спектральная асимметрия и риманова геометрия I, Proc. Camb. Фил. Soc., 77 (1975), 43-69.
Linas Vepstas, A.D. Jackson, A.S. Гольдхабер, Двухфазные модели барионов и киральный эффект Казимира, Physics Letters B140 (1984) с. 280-284.
Линас Вепстас, А.Д. Джексон, Обоснование хирального мешка, Physics Reports, 187 (1990) стр. 109–143.