Интеграция оболочки

редактировать

Объем аппроксимируется набором полых цилиндров. По мере того, как стенки цилиндра становятся тоньше, приближение становится лучше. Предел этого приближения - интеграл оболочки.

Интеграция оболочки (метод оболочки в интегральном исчислении ) - это метод вычисления объем тела вращения при интегрировании по оси, перпендикулярной оси вращения. Это отличается от интеграции диска, которая объединяется вдоль оси, параллельной оси вращения.

Содержание

1 Определение
2 Пример
3 См. Также
4 Ссылки

Определение

Метод оболочки выглядит следующим образом: Рассмотрим объем в трех измерениях, полученный вращение поперечного сечения в плоскости xy вокруг оси y. Предположим, что сечение задается графиком положительной функции f (x) на интервале [a, b]. Тогда формула для объема будет следующей:

2 π ∫ abxf (x) dx {\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} xf (x) \, dx}

{\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} xf (x) \, dx}

Если функция имеет координату y, а ось вращения - ось x, тогда формула принимает следующий вид:

2 π ∫ abyf (y) dy {\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} yf (y) \, dy}

{\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} yf (y) \, dy}

Если функция вращается вокруг прямой x = h или y = k, то формулы принимают вид:

{2 π ∫ ab (x - h) f (x) dx, если h ≤ a < b 2 π ∫ a b ( h − x) f ( x) d x, if a < b ≤ h {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,{\text{if}}\ h\leq a

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (xh) f (x) \, dx, {\ text {if}} \ h \ leq a <b \\\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (hx) f (x) \, dx, {\ text {if}} \ a <b \ leq h \ end {case}} }

{2 π ∫ ab (y - k) f (y) dy, если k ≤ a < b 2 π ∫ a b ( k − y) f ( y) d y, if a < b ≤ k {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,dy,{\text{if}}\ k\leq a

{\ displaystyle {\ begin {case } \ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (yk) f (y) \, dy, {\ text {if}} \ k \ leq a <b \\\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} (ky) f (y) \, dy, {\ text {if}} \ a <b \ leq k \ end {cases}}}

Формула выводится путем вычисления двойного интеграла в полярные координаты.

Пример

Рассмотрим объем, изображенный ниже, поперечное сечение которого на интервале [1, 2] определяется как:

y = (x - 1) 2 (x - 2) 2 {\ displaystyle y = (x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}}

y = (x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}

Поперечное сечение

3D-объем

В случае интеграции с диском нам потребуется решить для x данного y. Поскольку объем полый посередине, мы найдем две функции: одна, которая определяет внутреннее твердое тело, а другая - внешнее. После объединения этих двух функций с дисковым методом мы вычитаем их, чтобы получить желаемый объем.

Для метода оболочки все, что нам нужно, это следующая формула:

2 π ∫ 1 2 x ((x - 1) 2 (x - 2) 2) dx {\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {1} ^ {2} x ((x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}) \, dx}

{\ displaystyle 2 \ pi \ int _ {1} ^ {2} x ((x-1) ^ {2} (x-2) ^ {2}) \, dx}

При расширении полинома интеграл становится очень простым. В итоге находим объем π / 10 кубических единиц.

См. Также

Ссылки

Weisstein, Eric W. «Метод оболочек». MathWorld.
Фрэнк Эйрес, Эллиотт Мендельсон. Очерки Шаума : Исчисление. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. стр. 244–248 (онлайн-копия, стр. 244, в Google Книги )