В математике многочлены Романовского являются одним из трех конечных подмножеств реальных ортогональных полиномы, открытые Всеволодом Романовским (Романовский во французской транскрипции) в контексте функций распределения вероятностей в статистике. Они образуют ортогональное подмножество более общего семейства малоизвестных многочленов Рауса, введенных Эдвардом Джоном Раусом в 1884 году. Термин многочлены Романовского был предложен Рапозо со ссылкой на так называемые «псевдоякоби-полиномы» в схеме классификации Лески. Кажется более последовательным называть их многочленами Романовского – Рауса по аналогии с терминами Романовского – Бесселя и Романовски – Якоби, используемыми Лески для двух других наборы ортогональных многочленов.
В некотором отличие от стандартных классических ортогональных многочленов рассматриваемые многочлены различаются тем, что для произвольных параметров только конечное их число ортогонально, как более подробно обсуждается ниже.
Содержание
- 1 Дифференциальное уравнение для многочленов Романовского
- 2 Связь между полиномами Романовского и Якоби
- 3 Свойства многочленов Романовского
- 3.1 Явное построение
- 3.2 Ортогональность
- 3.3 Производящая функция
- 4 Повторяющиеся соотношения
- 5 См. Также
- 6 Ссылки
Дифференциальное уравнение для полиномов Романовского
Полиномы Романовского решают следующую версию гипергеометрического дифференциального уравнения
| | ( 1) |
Любопытно, что они были исключены из стандартных учебников по специальным функциям в математической физике и математике и относительно редко встречаются в других материалах математической литературы.
весовые функции равны
| | (2) |
они решают дифференциальное уравнение Пирсона
| | (3) |
, который обеспечивает самосопряженность дифференциального оператора гипергеометрического обыкновенного дифференциального уравнения.
Для α = 0 и β < 0, the weight function of the Romanovski polynomials takes the shape of the распределение Коши, откуда Многочлены также обозначаются как многочлены Коши в их приложениях в теории случайных матриц.
Формула Родригеса определяет многочлен R. n(x) как
| | (4) |
где N n - константа нормализации. Эта константа связана с коэффициентом c n члена степени n в полиноме R. n(x) выражением
| | (5) |
что справедливо для n ≥ 1.
Связь между полиномами Романовского и Якоби
Как показано Аски, это Конечная последовательность вещественных ортогональных многочленов может быть выражена через многочлены Якоби мнимого аргумента и поэтому часто упоминается как комплексифицированные многочлены Якоби. А именно, уравнение Романовского (1) может быть формально получено из уравнения Якоби,
| | (6) |
с помощью замен для действительного x,
| | (7) |
в этом случае найдется
| | (8) |
(с подходящим образом выбранными константами нормализации для многочленов Якоби). Комплексные полиномы Якоби справа определены через (1.1) в Kuijlaars et al. (2003), который гарантирует, что (8) - действительные многочлены от x. Поскольку указанные авторы обсуждают условия неэрмитовой (комплексной) ортогональности только для реальных индексов Якоби, совпадение их анализа и определения (8) полиномов Романовского существует только при α = 0. Однако рассмотрение этого особого случая требует более тщательного изучения. за пределы данной статьи. Обратите внимание на обратимость (8) согласно
| | (9) |
где теперь P. n(x) - действительный многочлен Якоби и
будет комплексным многочленом Романовского.
Свойства многочленов Романовского
Явное построение
Для вещественных α, β и n = 0, 1, 2,... функция R. n(x) можно определить формулой Родригеса в уравнении (4) как
| | (10) |
где w - та же весовая функция, что и в (2), а s (x) = 1 + x - коэффициент второй производной гипергеометрического дифференциального уравнения, как в (1).
Обратите внимание, что мы выбрали константы нормировки N n = 1, что эквивалентно выбору коэффициента наивысшей степени в полиноме, как задано уравнением (5). Он принимает вид
| | (11) |
Также обратите внимание, что коэффициент c n не зависит от параметра α, а только от β и, для определенных значений β, c n исчезает (т. Е. Для всех значений
где k = 0,..., n - 1). Это наблюдение создает проблему, которая рассматривается ниже.
Для дальнейшего использования мы явно записываем многочлены степени 0, 1 и 2,
, которые вместе взяты из формулы Родригеса (10) с ODE Пирсона (3).
Ортогональность
Два многочлена, R. m(x) и R. n(x) с m ≠ n, ортогональны,
| | (12) |
тогда и только тогда, когда,
| | (13) |
Другими словами, для произвольных параметров только конечное число полиномов Романовского ортогонально. Это свойство называется конечной ортогональностью. Однако для некоторых частных случаев, в которых параметры определенным образом зависят от полиномиальной степени, может быть достигнута бесконечная ортогональность.
Это случай версии уравнения (1), которая была независимо встречена заново в контексте точной разрешимости квантово-механической проблемы тригонометрического потенциала Розена – Морса и сообщается в Compean Kirchbach (2006). Здесь параметры полинома α и β больше не являются произвольными, а выражаются через параметры потенциала, a и b, и степень n полинома в соответствии с соотношениями
| | (14) |
Соответственно, λ n появляется как λ n = −n (2a + n - 1), а весовая функция принимает форму
Наконец, одномерная переменная x в Compean Kirchbach (2006) была взята как
, где r - радиальное расстояние, а - подходящий параметр длины. В Compean и Kirchbach было показано, что семейство многочленов Романовского, соответствующее бесконечной последовательности пар параметров,
| | (15) |
ортогонален.
Производящая функция
В Вебере (2007) многочлены Q. ν(x), с β n + n = −a и дополняющие R. n(x) были изучены, сформированы следующим образом:
| | (16) |
С учетом соотношения
| | (17) |
Уравнение (16) становится эквивалентным
| | (18) |
и таким образом связывает дополнительные с основными многочленами Романовского.
Основная привлекательность дополнительных полиномов заключается в том, что их производящая функция может быть вычислена в замкнутой форме. Такая производящая функция , записанная для полиномов Романовского на основе уравнения (18) с параметрами в (14) и, следовательно, относящаяся к бесконечной ортогональности, была введена как
| | (19) |
Различия в обозначениях между Вебером и используемыми здесь резюмируются следующим образом:
- G (x, y) здесь по сравнению с Q (x, y; α, −a) там, α там в место α n здесь,
- a = −β n - n и
- Q. ν(x) в уравнении (15) Вебера, соответствующем R. ν(x) здесь.
Обсуждаемая производящая функция, полученная в Вебере, теперь имеет следующий вид:
| | (20) |
Рекуррентные соотношения
Рекуррентные соотношения между бесконечным ортогональным рядом многочленов Романовского с параметрами в приведенных выше уравнениях (14) следуют из производящей функции ,
| | ( 21) |
и
| | (22) |
как уравнения (10) и (23) Вебера (2007) соответственно.
См. Также
Ссылки