Теория Рэнкина

Теория Рэнкина (теория максимального нормального напряжения), разработанная в 1857 г. Уильямом Джоном Маккуорном Рэнкином, представляет собой решение поля напряжений, которое прогнозирует активное и пассивное давление грунта. Предполагается, что грунт не связан, стена не имеет трения, граница раздела грунт-стена вертикальная, поверхность разрушения, по которой движется грунт, плоская, а результирующая сила направлена ​​под углом параллельно поверхности засыпки. Уравнения для активных и пассивных коэффициентов бокового давления на землю приведены ниже. Обратите внимание, что φ '- это угол сопротивления сдвигу грунта, а засыпка наклонена под углом β к горизонтали.

$К\; a\; знак\; равно\; соз\; \; \beta \; -\; (соз\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi )\; 1/2\; соз\; \; \beta \; +\; (соз\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi )\; 1/2\; \ast \; соз\; \beta \; \{\backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{\; a\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\}\}\; *\; cos\; \backslash \; beta\}$

$K\; p\; =\; cos\; \; \beta \; +\; (cos\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi )\; 1/2\; соз\; \; \beta \; -\; (соз\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi )\; 1/2\; *\; соз\; \beta \; \{\backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; соз\; \backslash \; бета\; +\; \backslash \; влево\; (\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\}\}\; *\; cos\; \backslash \; beta\}$

Для случая, когда β равно 0, приведенные выше уравнения упрощаются до

$K\; a\; =\; tan\; 2\; \; (45\; -\; \varphi \; 2)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{a\}\; =\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (45\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \}$

$K\; p\; =\; tan\; 2\; \; (45\; +\; \varphi \; 2)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; K\_\; \{p\}\; =\; \backslash \; tan\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (45\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \}$

• 1 Теория Рэнкина
• 2 Активные и пассивное давление грунта
• 3 См. также
• 4 Ссылки

Теория Ренкина предполагает, что отказ произойдет, когда максимальное Главное напряжение в любой точке достигает значения, равного растягивающему напряжению в простом образце растяжения при разрушении. Эта теория не принимает во внимание влияние двух других главных напряжений. Теория Ренкина подходит для хрупких материалов и неприменима к пластичным материалам. Эта теория также называется Теорией максимального напряжения .

Теория Ренкина предполагает наличие поверхности раздела грунт-стена без трения и вертикальной стенки (без уклона стены). Эта теория широко используется в горном деле для испытания образцов грунта перед запуском рудника.

Эта теория, которая считает, что грунт находится в состоянии пластического равновесия, предполагает, что грунт однородный, изотропный и имеет внутреннее трение. Давление грунта на стену называется активным давлением. Сопротивление, оказываемое почвой толкающемуся объекту, называется «пассивным давлением». Теория Ренкина применима к несжимаемым грунтам. Уравнение для несвязного активного давления грунта выражается как:

$P\; a\; =\; K\; awh\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{a\}\; =\; K\_\; \{a\}\; wh\}$

где:

$K\; a\; =\; соз\; \; \beta \; -\; (соз\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi )\; 1/2\; соз\; \; \beta \; +\; (соз\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi )\; 1/2\; *\; соз\; \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; beta\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\}\}\; *\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta\}$

и:

Ka= коэффициент активного давления

w = плотность веса почвы

h = глубина участка (ниже верхнего слоя почвы), на котором оценивается давление.

β = угол, который верхняя поверхность почвы образует с горизонталью.

φ = угол внутреннего трения

Выражение для пассивного давления:

$P\; p\; =\; K\; pwh\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{p\}\; =\; K\_\; \{p\}\; wh\}$

где:

$K\; p\; =\; cos\; \; \beta \; +\; (\; соз\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi )\; 1/2\; соз\; \; \beta \; -\; (соз\; 2\; \; \beta \; -\; соз\; 2\; \; \varphi )\; 1/2\; *\; соз\; \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; бета\; +\; \backslash \; left\; (\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\}\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; left\; (\backslash \; co\; s\; ^\; \{2\}\; \backslash \; beta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\}\}\; *\; \backslash \; cos\; \backslash \; beta\}$

Или, в случае β = 0, два коэффициента равны обратно пропорционально, так что:

$K\; p\; =\; 1\; K\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{K\_\; \{a\}\}\}\}$

• Боковое давление грунта
• Теория Мора – Кулона
• Механика грунта
• Подпорная стена