Основная подпись

редактировать

Мультимножество простых показателей в разложении на простые множители

В математике простая сигнатура числа - это мультимножество (ненулевых) показателей его разложения на простые множители. Сигнатура числа с разложением на простые множители $p 1 m 1 p 2 m 2… pnmn {\ displaystyle p_ {1} ^ {m_ {1}} p_ {2} ^ {m_ {2}} \ dots p_ {n} ^ {m_ {n}}}$ ${\ displaystyle p_ {1} ^ {m_ {1}} p_ {2} ^ {m_ {2}} \ dots p_ {n} ^ {m_ {n} }}$ - это мультимножество ${m 1, m 2,…, mn} {\ displaystyle \ left \ {m_ {1}, m_ {2}, \ dots, m_ {n} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {m_ {1}, m_ {2}, \ dots, m_ {n} \ right \}}$ .

Например, все простые числа имеют простую сигнатуру {1}, квадраты простых чисел имеют штрих сигнатуры {2}, произведения двух различных простых чисел имеют простую сигнатуру {1, 1}, а произведения квадрата простого числа и другого простого числа (например, 12, 18, 20,...) имеют простое число подпись {2, 1}.

Содержание

1 Свойства
2 Числа с одинаковой простой сигнатурой
3 Последовательности, определяемые их простой сигнатурой
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Свойства

функция делителей τ (n), функция Мёбиуса μ (n), число различных простых делителей ω (n) числа n, число простых делители Ω (n) числа n, индикаторная функция бесквадратных целых чисел и многие другие важные функции теории чисел являются функциями простой сигнатуры числа n.

В частности, τ (n) равно произведению экспонент, увеличенных на 1, из простой сигнатуры числа n. Например, число 20 имеет простую сигнатуру {2,1}, поэтому количество делителей равно (2 + 1) × (1 + 1) = 6. В самом деле, есть шесть делителей: 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

Наименьшее количество каждой простой подписи является произведением примитивов. Первые несколько:

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 30, 32, 36, 48, 60, 64, 72, 96, 120, 128, 144, 180, 192, 210, 216,... (последовательность A025487 в OEIS ).

Число не может делить другое, если его сигнатура простого числа не включена в сигнатуру простых чисел других чисел в решетке Юнга.

Числа с одинаковой простой подписью


Подпись	Числа	OEIS ID	Описание
∅	1		Число 1 как пустое произведение простых чисел
{1 }	2, 3, 5, 7, 11,...	A000040	простые числа
{2}	4, 9, 25, 49, 121,...	A001248	квадраты простых чисел
{1, 1}	6, 10, 14, 15, 21,...	A006881	два различных простых делителя (бесквадратные полупростые числа )
{3}	8, 27, 125, 343,...	A030078	кубы простых чисел
{2, 1}	12, 18, 20, 28,...	A054753	квадраты простых чисел, умноженные на другое простое число
{4 }	16, 81, 625, 2401,...	A030514	четвертые степени простых чисел
{3, 1}	24, 40, 54, 56,...	A065036	кубы простых чисел, умноженные на другое простое число
{1, 1, 1}	30, 42, 66, 70,...	A007304	три различных простых делителя (сфенические числа )
{5}	32, 243, 3125,...	A050997	пятые степени простых чисел
{2, 2}	36, 100, 196, 225,...	A085986	квадраты полупростых чисел без квадратов

Последовательности, определяемые их простой сигнатурой

Для числа с простой сигнатурой S это

A простое число, если S = {1},
A квадрат, если gcd S даже,
A квадрат -свободное целое число, если max S = 1,
A сильное число, если min S ≥ 2,
число Ахилла, если min S ≥ 2 и gcd S = 1,
k-почти простое, если сумма S = k.

См. Также

Каноническое представление положительного целого числа

Ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Простое число. Подпись ". MathWorld.

Внешние ссылки