Простая четверка

редактировать

A простая четверка (иногда называемая простая четверка ) является набор из четырех простых чисел вида {p, p + 2, p + 6, p + 8}. Это представляет собой ближайшую возможную группировку из четырех простых чисел, превышающих 3, и является единственной совокупностью простых чисел длины 4.

Содержание

1 простые четверки
2 простых пятерки
3 простых sextuplets
4 простых k-кортежа
5 ссылок

простых четверок

Первые восемь простых четверок:

{5, 7, 11, 13 }, {11, 13, 17, 19 }, {101, 103, 107, 109 }, {191, 193, 197, 199 }, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089} (последовательность A007530 в OEIS )

Все простые четверки, кроме {5, 7, 11, 13}, имеют форму {30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19} для некоторого целого числа n (эта структура необходима для того, чтобы ни одно из четырех простых чисел не делилось на 2, 3 или 5.) Простая четверка этой формы также называется простой декадой .

Четверка простых чисел содержит две пары простых чисел-близнецов или может быть описана как имеющая два перекрывающихся pr Имеющиеся тройки.

Неизвестно, бесконечно много простых четверок. Доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел, будет подразумевать гипотезу о простых числах-близнецах, но оно согласуется с текущими знаниями о том, что может быть бесконечно много пар простых чисел-близнецов и только конечное число простых четверок. Число простых четверок с n цифрами в базе 10 для n = 2, 3, 4,... равно 1, 3, 7, 27, 128, 733, 3869, 23620, 152141, 1028789, 7188960, 51672312, 381226246, 2873279651 (последовательность A120120 в OEIS ).

По состоянию на февраль 2019 года самая большая известная четверка простых чисел состоит из 10132 цифр. Он начинается с p = 667674063382677 × 2 - 1, найденного Питером Кайзером.

Константа, представляющая сумму обратных величин всех простых четверок, константа Бруна для простых четверок, обозначаемая B 4, является суммой обратных величин всех простые четверки:

B 4 = (1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13) + (1 11 + 1 13 + 1 17 + 1 19) + (1 101 + 1103 + 1107 + 1109) + ⋯ {\ displaystyle B_ {4} = \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac { 1} {13}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac { 1} {19}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {101}} + {\ frac {1} {103}} + {\ frac {1} {107}} + {\ frac { 1} {109}} \ right) + \ cdots}

B_ {4} = \ left ({\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {17}} + {\ frac {1} {19}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {101}} + {\ frac {1} {103}} + {\ frac {1} {107}} + {\ frac {1} {109}} \ right) + \ cdots

со значением:

B4= 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Эту константу не следует путать с константой Бруна для кузена простые числа, пары простых чисел вида (p, p + 4), которые также записываются как B 4.

. Четверка простых чисел {11, 13, 17, 19} предположительно появляется на Кость Ишанго, хотя это оспаривается.

Исключая первую простую четверку, кратчайшее возможное расстояние между двумя четверками {p, p + 2, p + 6, p + 8} и {q, q + 2, q + 6, q + 8} равно q - p = 30. Первые вхождения этого числа - для p = 1006301, 2594951, 3919211, 9600551, 10531061,... (OEIS : A059925 ).

Число перекосов для простых четверок {p, p + 2, p + 6, p + 8} равно $1172531 {\ displaystyle 1172531}$ ${\ displaystyle 1172531}$ (Tóth (2019)).

Простые пятерки

Если {p, p + 2, p + 6, p + 8} простая четверка и p − 4 или p + 12 также простые, то пять простых чисел образуют простую пятерку, которая является ближайшим допустимым созвездием из пяти простых чисел. Первые несколько простых пятерок с p + 12:

{5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, {101, 103, 107, 109, 113}, {1481, 1483, 1487, 1489, 1493}, {16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, {22271, 22273, 22277, 22279, 22283}, {43781, 43783, 43787, 43789, 43793}, {55331, 55333, 55337, 55339, 55343}... OEIS : A022006.

Первые пятерки простых чисел с p − 4:

{7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647, 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789}, {79687, 79691, 79693, 79697, 79699}, {88807, 88811, 88813, 88817, 88819 }... OEIS : A022007.

Пятерка простых чисел содержит две близкие пары простых чисел-близнецов, четверку простых чисел и три перекрывающихся тройки простых чисел.

Неизвестно, бесконечно много простых пятерок. И снова, доказательство гипотезы о простых близнецах может не обязательно доказывать, что существует также бесконечно много простых пятерок. Кроме того, доказательство того, что существует бесконечно много простых четверок, не обязательно доказывает, что существует бесконечно много простых пятерок.

Число перекосов для простых пятерок {p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12} равно $21432401 {\ displaystyle 21432401}$ ${\ displaystyle 21432401}$ (Тот (2019)).

Простые шестикратники

Если и p − 4, и p + 12 простые числа, то он становится простым шестнадцатилетним . Первые несколько:

{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073 }, {19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793} OEIS : A022008

Некоторые источники также называют {5, 7, 11, 13, 17, 19} простой секстиплет. Наше определение, все случаи простых чисел {p-4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12}, следует из определения шестерня простого числа как ближайшего допустимого созвездия из шести простых чисел.

Шестигранник простых чисел содержит две близкие пары простых чисел-близнецов, четверку простых чисел, четыре перекрывающихся тройки простых чисел и две перекрывающиеся пятерки простых чисел.

Все простые шестерки, кроме {7, 11, 13, 17, 19, 23}, имеют форму {210n + 97, 210n + 101, 210n + 103, 210n + 107, 210n + 109, 210n + 113} для некоторого целого числа n. (Эта структура необходима для того, чтобы ни одно из шести простых чисел не делилось на 2, 3, 5 или 7).

Неизвестно, бесконечно много простых шестерней. Еще раз, доказательство гипотезы о простых числах-близнецах может не обязательно доказывать, что существует также бесконечно много простых шестерней. Кроме того, доказательство того, что существует бесконечно много простых пятерок, не обязательно доказывает, что существует бесконечно много простых шестерней.

В цифровой валюте riecoin одна из целей - найти шестерки простых чисел для больших простых чисел p с использованием распределенных вычислений.

Число перекосов для кортежа {p, p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16} равно $251331775687 {\ displaystyle 251331775687 }$ ${\ displaystyle 251331775687}$ (Тот (2019)).

Простые k-кортежи

Простые четверки, пятерки и шестерки являются примерами простых созвездий, а простые комбинации, в свою очередь, являются примерами простых k-кортежей. Простое созвездие - это группа из $k {\ displaystyle k}$ $к$ простых чисел с минимальным простым $p {\ displaystyle p}$ $p$ и максимальным простым числом $p + n {\ displaystyle p + n}$ ${\ displaystyle p + n}$ , удовлетворяющий следующим двум условиям:

Не все остатки по модулю $q {\ displaystyle q}$ $q$ представлены для любого простого числа $q {\ displaystyle q}$ $q$
Для любого заданного $k {\ displaystyle k}$ $к$ значение $n {\ displaystyle n}$ $n$ является минимальным possible

В более общем смысле, простой k-кортеж возникает, если выполняется первое условие, но не обязательно второе условие.

Ссылки