Полиномиальная матрица

В математике, a полиномиальная матрица или матрица полиномов - это матрица, элементы которой являются одномерными или многомерными полиномами. Эквивалентно, полиномиальная матрица - это полином, коэффициенты которого являются матрицами.

Одномерная полиномиальная матрица P степени p определяется как:

$P\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; p\; A\; (n)\; xn\; =\; A\; (0)\; +\; A\; (1)\; x\; +\; A\; (2)\; x\; 2\; +\; \cdots \; +\; A\; (p)\; xp\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{p\}\; A\; (n)\; x\; ^\; \{n\}\; =\; A\; (0)\; +\; A\; (1)\; x\; +\; A\; (2)\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; A\; (p)\; x\; ^\; \{p\}\}$

где $A\; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (i)\}$обозначает матрицу констант коэффициенты, а $A\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (p)\}$не равно нулю. Пример полиномиальной матрицы 3 × 3, степень 2:

$P\; =\; (1\; x\; 2\; x\; 0\; 2\; x\; 2\; 3\; x\; +\; 2\; x\; 2\; -\; 1\; 0)\; =\; (1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 2\; 2\; -\; 1\; 0)\; +\; (\; 0\; 0\; 1\; 0\; 2\; 0\; 3\; 0\; 0)\; х\; +\; (0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0)\; х\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; x\; ^\; \{2\}\; x\; \backslash \backslash \; 0\; 2x\; 2\; \backslash \backslash \; 3x\; +\; 2\; x\; ^\; \{2\}\; -1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 2\; \backslash \backslash \; 2\; -1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; +\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; 2\; 0\; \backslash \backslash \; 3\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; x\; +\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; x\; ^\; \{2\}.\}$

Мы можем выразить это, сказав, что для кольца R кольца $M\; n\; (R\; [X])\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{n\}\; (R\; [\; X])\}$и $(M\; n\; (R))\; [X]\; \{\backslash \; displaystyle\; (M\_\; \{n\}\; (R))\; [X]\}$равны изоморфные.

• Полиномиальная матрица над полем с определителем , равным ненулевому элементу этого поля, называется унимодулярной и имеет обратный, который также является полиномиальной матрицей. Обратите внимание, что единственными скалярными унимодулярными многочленами являются многочлены степени 0 - ненулевые константы, потому что обратный к произвольному многочлену более высокой степени является рациональной функцией.
• Корни полиномиальной матрицы по комплексным числам - это точки на комплексной плоскости, где матрица теряет ранг.
• Определитель матричного полинома с эрмитовым положительно определенным (полуопределенные) коэффициенты - это полином с положительными (неотрицательными) коэффициентами.

Обратите внимание, что полиномиальные матрицы не следует путать с мономиальными матрицами, которые представляют собой просто матрицы с ровно одной ненулевой записью в каждой строке и столбец.

Если через λ обозначить любой элемент поля , по которому мы построили матрицу, через I - единичную матрицу, и пусть A - полиномиальная матрица, то матрица λI - A является характеристической матрицей матрицы A. Ее определитель | λI - A | - характеристический многочлен матрицы A.

• Е.В.Кришнамурти, Безошибочные вычисления полиномиальной матрицы, Springer Verlag, Нью-Йорк, 1985

.