Топология порядка (функциональный анализ)

редактировать

В математике, особенно в теории порядка и функциональном анализе, топология порядка упорядоченного векторного пространства (X, ≤) является лучшим локально выпуклым топологическим векторным пространством (TVS) топология на X, для которой каждый интервал порядка ограничен, где интервал порядка в X - это множество вида [a, b]: = {z ∈ X: a ≤ z и z ≤ b}, где a и b принадлежат X.

Порядковая топология - важная топология, которая часто используется в теории упорядоченных топологических векторных пространств, поскольку топология проистекает непосредственно из алгебраических и теоретико-порядковые свойства (X, ≤), а не из некоторой топологии, имеющейся у X. Это позволяет установить тесную связь между этой топологией и алгебраическими и порядковыми свойствами (X, ≤). Для многих упорядоченных топологических векторных пространств, которые встречаются в анализе, их топологии идентичны топологии порядка.

Содержание

1 Определения
2 Свойства
3 Отношение к подпространствам, частным, и продукты
4 Примеры
5 См. также
6 Ссылки
7 Библиография

Определения

Семейство всех локально выпуклых топологий на X, для которых каждый интервал порядка ограничен, является непусто (так как оно содержит самую грубую топологию на X), и порядковая топология является верхней границей этого семейства.

Подмножество X является окрестностью 0 в порядковой топологии тогда и только тогда, когда оно выпукла и поглощает каждый порядковый интервал в X. Обратите внимание, что окрестность 0 в порядковой топологии обязательно поглощает, поскольку [x, x] = {x} для всех x в X.

Для каждого a ≥ 0 пусть $X a = ∪ n = 1 ∞ n [- a, a] {\ displaystyle X_ {a} = \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} n [- a, a]}$ ${\ displaystyle X_ {a} = \ cup _ {n = 1} ^ {\ infty} n [-a, a]}$ и наделить X a топологией его порядка (которая превращает его в нормируемое пространство). Множество всех X a направлено при включении, и если X a ⊆ X b, то естественное включение X a в X b непрерывно. Если X является регулярно упорядоченным векторным пространством над вещественными числами и если H - любое подмножество положительного конуса C из X, которое конфинально в C (например, H может быть C), то X с его порядковой топологией является индуктивный предел ${X a: a ≥ 0} {\ displaystyle \ left \ {X_ {a}: a \ geq 0 \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {a}: a \ geq 0 \ right \}}$ (где карты связывания являются естественными включений).

Структура решетки может частично компенсировать отсутствие единицы порядка:

Теорема : Пусть X будет векторной решеткой с a, и пусть C обозначает его положительный конус. Тогда порядковая топология на X - это тончайшая локально выпуклая топология на X, для которой C является нормальным конусом ; это также то же самое, что и топология Макки, индуцированная на X относительно двойственности

⟨X, X +⟩ {\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ { +} \ right \ rangle}

{\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {+} \ right \ rangle}

В частности, если $(X, τ) {\ displaystyle (X, \ tau)}$ $(X, \ tau)$ является упорядоченной решеткой Фреше над действительные числа, тогда $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ является упорядоченной топологией на X тогда и только тогда, когда положительный конус X является нормальным конусом в $(X, τ) {\ displaystyle (X, \ tau)}$ $(X, \ tau)$ .

Если X - это регулярно упорядоченная векторная решетка, то упорядоченная топология - это лучшая локально выпуклая топология TVS на X, превращающая X в локально выпуклую векторную решетку. Если вдобавок X является порядковым полным, то X с порядковой топологией является бочкообразным пространством, и каждое ленточное разложение X является топологической прямой суммой для этой топологии. В частности, если порядок векторной решетки X регулярен, то топология порядка порождается семейством всех элементов на X.

Свойства

На всем протяжении мы позволяем (X, ≤) быть упорядоченное векторное пространство, и мы позволяем 𝜏 ≤ обозначать топологию порядка на X.

Двойственным к (X, 𝜏 ≤) является двойственный по порядку X для X.
Если X разделяет точки в X (например, если (X, ≤) является правильным), то (X, 𝜏 ≤) является борнологический локально выпуклый TVS.
Каждый положительный линейный оператор между двумя упорядоченными векторными пространствами является непрерывным для топологий соответствующего порядка.
Каждый порядок единица упорядоченной TVS является внутренней по отношению к положительному конусу для топологии порядка.
Если порядок упорядоченного векторного пространства X равен a и если каждая положительная последовательность типа $l 1 {\ displaystyle l ^ {1}}$ ${\ displaystyle l ^ {1}}$ в X является суммируемым по порядку, тогда X, наделенный своей топологией порядка, является пробелом с бочонками.
Если порядок упорядоченного векторного пространства X является a, и если для всех x ≥ 0 и y ≥ 0, мы имеем [0, x] + [0, y] = [0, x + y], тогда положительный конус X является нормальным конусом в X, когда X наделен топологией порядка.
- В частности, непрерывное двойственное пространство X с порядковой топологией будет двойственным порядком X.
Если (X, ≤) является упорядоченным архимедовым векторным пространством над действительные числа с порядковой единицей и пусть 𝜏 ≤ обозначают топологию порядка на X. Тогда (X, 𝜏 ≤) является упорядоченной TVS, который является нормируемым, 𝜏 ≤ - лучшая локально выпуклая топология TVS на X, такая, что положительный конус нормален, и следующие условия эквивалентны:

(X, 𝜏 ≤) завершена.
Каждая положительная последовательность типа $l 1 {\ displaystyle l ^ {1}}$ ${\ displaystyle l ^ {1}}$ в X имеет порядок суммируемый.

В частности, если (X, ≤) является упорядоченным архимедом векторным пространством, имеющим порядковый элемент, то порядок ≤ является регулярным порядком и X = X.
Если X - банахово пространство и упорядоченное векторное пространство с порядковой единицей, то топология X идентична Это соответствует порядковой топологии тогда и только тогда, когда положительный конус X является нормальным конусом в X.
A Гомоморфизм векторной решетки из X в Y является топологическим гомоморфизмом когда X и Y имеют соответствующую топологию порядка (функциональный анализ) | топологии порядка.

Отношение к подпространствам, частным и продуктам

Если M является твердым векторным подпространством векторная решетка X, то порядковая топология X / M является фактором порядковой топологии на X.

Примеры

Порядковая топология конечного произведения упорядоченных векторных пространств ( это произведение, имеющее свой канонический порядок) идентично топологии произведения топологического произведения составляющих упорядоченных векторных пространств (когда каждому задана его топология порядка).

См. также

Ссылки

Библиография

; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.