Октаэдрическое число

146 магнитные шары, упакованы в виде октаэдра

В теории чисел октаэдрическое число - это фигуральное число, которое представляет количество сфер в октаэдр, образованный из плотноупакованных сфер. N-е октаэдрическое число $O\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\}$можно получить по формуле:

$O\; n\; =\; n\; (2\; n\; 2\; +\; 1)\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\; =\; \{n\; (2n\; ^\; \{2\}\; +1)\; \backslash \; over\; 3\}.\}$

Первые несколько октаэдрических чисел:

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891 (последовательность A005900 в OEIS ).

• 1 Свойства и приложения
• 2 Связь с другими фигуральными числами
  • 2.1 Квадратные пирамиды
  • 2.2 Тетраэдры
  • 2.3 Кубы
  • 2.4 Центрированные квадраты
• 3 История
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Октаэдрические числа имеют производящую функцию

$z\; (\; z\; +\; 1)\; 2\; (z\; -\; 1)\; 4\; знак\; равно\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; O\; nzn\; =\; z\; +\; 6\; z\; 2\; +\; 19\; z\; 3\; +\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{z\; (z\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\}\; \{(z-1)\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; O\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}\; =\; z\; +\; 6z\; ^\; \{2\}\; +\; 19z\; ^\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Сэр Фредерик Поллок предположил в 1850 г., что каждое положительное целое число является суммой не более 7 октаэдрических чисел. Это утверждение, гипотеза октаэдрических чисел Поллока, было доказано для все числа, кроме конечного числа.

В химии октаэдрические числа могут использоваться для описания чисел атомов в октаэдрических кластерах; в этом контексте они называются магическими числами.

Квадратные пирамиды

Октаэдрическая упаковка сфер может быть разделена на две квадратные пирамиды, перевернув один под другим, разделив его по квадратному сечению. Следовательно, n-е октаэдрическое число $O\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\}$может быть получено путем сложения двух последовательных квадратных пирамидальных чисел вместе:

$O\; n\; =\; P\; n\; -\; 1\; +\; P\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\; =\; P\_\; \{n-1\}\; +\; P\_\; \{n\}.\}$

Тетраэдры

Если $O\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\}$- n-е октаэдрическое число, а $T\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{n\}\}$- n-е тетраэдрическое число, тогда

$O\; n\; +\; 4\; T\; n\; -\; 1\; =\; Т\; 2\; н\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\; +\; 4T\_\; \{n-1\}\; =\; T\_\; \{2n-1\}.\}$

Это представляет собой геометрический факт, что приклеивание тетраэдра к каждой из четырех несмежных граней октаэдра дает тетраэдр вдвое больше.

Также возможно другое соотношение между октаэдрическими числами и тетраэдрическими числами, основанное на том факте, что октаэдр можно разделить на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две смежные исходные грани (или, альтернативно, на основании того факта, что каждое квадратное пирамидальное число является суммой двух тетраэдрических чисел):

$O\; n\; =\; T\; n\; +\; 2\; T\; n\; -\; 1\; +\; T\; n\; -\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\; =\; T\_\; \{n\}\; +\; 2T\_\; \{n-1\}\; +\; T\_\; \{n-2\}.\}$

Кубы

Если два тетраэдра прикреплены к противоположным граням октаэдра, в результате получается ромбоэдр. Количество плотно упакованных сфер в ромбоэдре равно кубу, что оправдывает уравнение

$O\; n\; +\; 2\; T\; n\; -\; 1\; =\; n\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\; +\; 2T\_\; \{n-1\}\; =\; n\; ^\; \{3\}.\}$

Центрированные квадраты

Квадратные пирамиды, в которых каждый слой имеет центрированный квадрат с числом кубов. Общее количество кубов в каждой пирамиде представляет собой октаэдрическое число.

Разница между двумя последовательными октаэдрическими числами представляет собой число с центрированным квадратом :

$O\; n\; -\; O\; n\; -\; 1\; =\; C\; 4,\; n\; =\; n\; 2\; +\; (п\; -\; 1)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\; -O\_\; \{n-1\}\; =\; C\_\; \{4,\; n\}\; =\; n\; ^\; \{2\}\; +\; (n-1)\; ^\; \{2\}.\}$

Следовательно, октаэдрическое число также представляет количество точек в квадратной пирамиде , образованной путем наложения центрированных квадратов; по этой причине в своей книге Arithmeticorum libri duo (1575) Франческо Моролико назвал эти числа «pyramides quadratae secundae».

Число кубов в октаэдре, образованном сложением центрированных квадратов, равно центрированное октаэдрическое число, сумма двух последовательных октаэдрических чисел. Эти числа:

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625,... (последовательность A001845 в OEIS )

определяется формулой

$O\; n\; +\; O\; n\; -\; 1\; =\; (2\; n\; -\; 1)\; (2\; n\; 2-2\; n\; +\; 3)\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\; +\; O\_\; \{n-1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2n-1)\; (2n\; ^\; \{2\}\; -2n\; +\; 3)\}\; \{3\}\}\}$для n = 1, 2, 3,...

Первое исследование октаэдрических чисел, по-видимому, было предпринято Рене Декартом, около 1630 г., в его «De solidorum elementis». До Декарта фигурные числа изучались древними греками и Иоганн Фаульхабер, но только для многоугольных чисел, пирамидальных чисел и кубов. Декарт ввел изучение фигурных чисел на основе Платоновы тела и некоторые из полуправильных многогранников ; его работа включала октаэдрические числа. Однако De solidorum elementis был утерян и не был повторно открыт до 1860 года. Тем временем октаэдрические числа снова были изучены другие математики, в том числе Фридрих Вильгельм Марпург в 1774 году, Георг Симон Клюгель в 1808 году и сэр Фредерик Поллок в 1850 году.

• Вайсштейн, Эрик У. «Октаэдрическое число». MathWorld.