Noncototient

В математике noncototient - это положительное целое число n, которое не может быть выражено как разность между положительным целым числом m и числом под ним взаимно простые целые числа. То есть m - φ (m) = n, где φ обозначает функция Эйлера, не имеет решения для m. cototient числа n определяется как n - φ (n), поэтому noncototient - это число, которое никогда не является cototient.

Предполагается, что все некотиенты четны. Это следует из модифицированной формы немного более сильной версии гипотезы Гольдбаха : если четное число n может быть представлено как сумма двух различных простых чисел p и q, то

$pq\; -\; \phi \; (pq)\; знак\; равно\; пк\; -\; (п\; -\; 1)\; (д\; -\; 1)\; знак\; равно\; п\; +\; д\; -\; 1\; знак\; равно\; п\; -\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; pq-\; \backslash \; varphi\; (pq)\; =\; pq-\; (р-1)\; (q-1)\; =\; р\; +\; q-1\; =\; n-1.\; \backslash ,\}$

Ожидается, что каждое четное число, большее 6, является суммой двух различных простых чисел, поэтому, вероятно, никакое нечетное число больше 5 не может быть составным. Остальные нечетные числа охватываются наблюдениями $1\; =\; 2\; -\; \varphi \; (2),\; 3\; =\; 9\; -\; \varphi \; (9)\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; =\; 2-\; \backslash \; phi\; (2),\; 3\; =\; 9-\; \backslash \; phi\; (9)\}$и $5\; =\; 25\; -\; \varphi \; (25)\; \{\backslash \; displaystyle\; 5\; =\; 25-\; \backslash \; phi\; (25)\}$.

Для четных чисел может быть показано

$2\; pq\; -\; \phi \; (2\; pq)\; знак\; равно\; 2\; pq\; -\; (p\; -\; 1)\; (q\; -\; 1)\; =\; pq\; +\; p\; +\; q\; -\; 1\; =\; (p\; +\; 1)\; (q\; +\; 1)\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2pq-\; \backslash \; varphi\; (2pq)\; =\; 2pq-\; (p-1)\; (q-1)\; =\; pq\; +\; p\; +\; q-1\; =\; (p\; +\; 1)\; (q\; +\; 1)\; -2\}$

Таким образом, все четные числа n такие, что n + 2 могут записывается как (p + 1) * (q + 1), где p, q простые числа являются котентами.

Первые несколько noncototients:

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490,... (последовательность A005278 в OEIS )

Коэффициенты n равны

0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48,... (последовательность A051953 в OEIS )

Наименьшее k таких что коэффициент k равен n (начните с n = 0, 0, если такого k не существует)

1, 2, 4, 9, 6, 25, 10, 15, 12, 21, 0, 35, 18, 33, 26, 39, 24, 65, 34, 51, 38, 45, 30, 95, 36, 69, 0, 63, 52, 161, 42, 87, 48, 93, 0, 75, 54, 217, 74, 99, 76, 185, 82, 123, 60, 117, 66, 215, 72, 141, 0,... (последовательность A063507 в OEIS )

Наибольшее k такое, что коэффициент k равен n (начните с n = 0, 0, если такого k не существует)

1, ∞, 4, 9, 8, 25, 10, 49, 16, 27, 0, 121, 22, 169, 26, 55, 32, 289, 34, 361, 38, 85, 30, 529, 46, 133, 0, 187, 52, 841, 58, 961, 64, 253, 0, 323, 68, 1369, 74, 391, 76, 1681, 82, 1849, 86, 493, 70, 2209, 94, 589, 0,... (последовательность A063748 в OEIS )

Число ks таких, что k-φ (k) равно n (начинаются с n = 0)

1, ∞, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 4, 3, 0, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 0, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 5, 5, 0, 3, 0, 6, 2, 4, 2, 5, 0, 7, 4, 3, 1, 8, 4, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 7, 3,... (последовательность A063740 в OEIS )

Erds (1913-1996) и Серпинский (1882-1969) спрашивал, существует ли бесконечно много некототентов. Окончательный утвердительный ответ на этот вопрос дали Браукин и Шинцель (1995), которые показали, что каждый член бесконечной семьи $2\; k\; \cdot \; 509203\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; 509203\}$является пример (см. число Ризеля ). С тех пор другие бесконечные семейства примерно такой же формы были даны Фламменкампом и Лукой (2000).

• Browkin, J.; Шинцель, А. (1995). «О целых числах не вида n-φ (n)». Коллок. Математика. 68 (1): 55–58. Zbl 0820.11003.
• Flammenkamp, ​​A.; Лука, Ф. (2000). «Бесконечные семьи некототенцев». Коллок. Математика. 86 (1): 37–41. Zbl 0965.11003.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг. С. 138–142. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

• Некотенциальное определение из MathWorld