Теорема о запрещении удаления

редактировать

Основополагающая теорема квантовой обработки информации

В физике теорема о запрете удаления из квантовой теории информации является теоремой о запрете на удаление, которая утверждает, что, в общем, с учетом две копии некоторого произвольного квантового состояния, невозможно удалить одну из копий. Это обращенный во времени двойной к теореме о запрете клонирования, которая утверждает, что произвольные состояния не могут быть скопированы. Эта теорема кажется замечательной, потому что во многих смыслах квантовые состояния хрупки; теорема утверждает, что в частном случае они также являются робастными. Физик Арун К. Пати вместе с Сэмюэлем Л. Браунштейном доказали эту теорему.

Теорема о запрете удаления вместе с теоремой о запрете клонирования лежат в основе интерпретации квантовой механики с точки зрения теории категорий и, в частности, как симметричный кинжал. моноидальная категория. Эта формулировка, известная как категориальная квантовая механика, в свою очередь позволяет связать квантовую механику с линейной логикой как логикой квантовой теории информации (в точная аналогия с классической логикой, основанной на декартовых замкнутых категориях ).

Содержание

1 Обзор квантового удаления
2 Формальное утверждение теоремы о запрете удаления
- 2.1 Доказательство
3 Следствие
4 См. Также
5 Ссылки

Обзор квантовое удаление

Предположим, что есть две копии неизвестного квантового состояния. Уместным вопросом в этом контексте является вопрос, возможно ли, учитывая две идентичные копии, удалить одну из них, используя квантово-механические операции? Оказывается, нельзя. Теорема об отсутствии удаления является следствием линейности квантовой механики. Как и теорема о запрете клонирования, это имеет важные последствия для квантовых вычислений, теории квантовой информации и квантовой механики в целом.

Процесс квантового удаления берет две копии произвольного неизвестного квантового состояния на входном порту и выводит пустое состояние вместе с оригиналом. Математически это можно описать как:

U | ψ⟩ A | ψ⟩ B | A⟩ C = | ψ⟩ A | 0⟩ B | A ′⟩ C {\ Displaystyle U | \ psi \ rangle _ {A} | \ psi \ rangle _ {B} | A \ rangle _ {C} = | \ psi \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ { B} | A '\ rangle _ {C}}

U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}

где $U {\ displaystyle U}$ $U$ - операция удаления, которая не обязательно унитарна (но является линейным оператором), $| ψ⟩ A {\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {A}}$ $| \ psi \ rangle_A$ - неизвестное квантовое состояние, $| 0⟩ B {\ displaystyle | 0 \ rangle _ {B}}$ $| 0 \ rangle _ {B}$ - пустое состояние, $| A⟩ C {\ displaystyle | A \ rangle _ {C}}$ $| A \ rangle _ { C}$ - начальное состояние машины для удаления, а $| A ′⟩ C {\ displaystyle | A '\ rangle _ {C}}$ $|A'\rangle _{C}$ - это конечное состояние машины.

Можно отметить, что классические биты можно копировать и удалять, как и кубиты в ортогональных состояниях. Например, если у нас есть два одинаковых кубита $| 00⟩ {\ displaystyle | 00 \ rangle}$ $| 00 \ rangle$ и $| 11⟩ {\ displaystyle | 11 \ rangle}$ $| 11 \ rangle$ , тогда мы можем преобразовать в $| 00⟩ {\ displaystyle | 00 \ rangle}$ $| 00 \ rangle$ и $| 10⟩ {\ displaystyle | 10 \ rangle}$ $| 10 \ rangle$ . В этом случае мы удалили вторую копию. Однако из линейности квантовой теории следует, что не существует $U {\ displaystyle U}$ $U$ , который может выполнять операцию удаления для любого произвольного состояния $| ψ⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ .

Формальная формулировка теоремы о запрещении удаления

Пусть $| ψ⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ - неизвестное квантовое состояние в некотором гильбертовом пространстве (и пусть другие состояния имеют свое обычное значение). Тогда не существует линейного изометрического преобразования такого, что $| ψ⟩ A | ψ⟩ B | A⟩ C → | ψ⟩ A | 0⟩ B | A ′⟩ C {\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {A} | \ psi \ rangle _ {B} | A \ rangle _ {C} \ rightarrow | \ psi \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ { B} | A '\ rangle _ {C}}$ $|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}$ , причем конечное состояние вспомогательной службы не зависит от $| ψ⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ $| \ psi \ rangle$ .

Доказательство

Теорема верна для квантовых состояний в гильбертовом пространстве любой размерности. Для простоты рассмотрим преобразование удаления для двух одинаковых кубитов. Если два кубита находятся в ортогональных состояниях, то для удаления требуется, чтобы

| 0⟩ A | 0⟩ B | A⟩ C → | 0⟩ A | 0⟩ B | A 0⟩ C {\ displaystyle | 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A \ rangle _ {C} \ rightarrow | 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {0} \ rangle _ {C}}

| 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A \ rangle _ {C} \ rightarrow | 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {0} \ rangle _ {C}

| 1⟩ A | 1⟩ B | A⟩ C → | 1⟩ A | 0⟩ B | A 1⟩ C {\ displaystyle | 1 \ rangle _ {A} | 1 \ rangle _ {B} | A \ rangle _ {C} \ rightarrow | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {1} \ rangle _ {C}}

| 1 \ rangle _ {A} | 1 \ rangle _ { B} | A \ rangle _ {C} \ rightarrow | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {1} \ rangle _ {C}

Пусть $| ψ⟩ = α | 0⟩ + β | 1⟩ {\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle}$ $| \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle$ - состояние неизвестного кубита. Если у нас есть две копии неизвестного кубита, то по линейности преобразования удаления мы имеем

| ψ⟩ A | ψ⟩ B | A⟩ C = [α 2 | 0⟩ A | 0⟩ B + β 2 | 1⟩ A | 1⟩ B + α β (| 0⟩ A | 1⟩ B + | 1⟩ A | 0 B)] | A⟩ C {\ Displaystyle | \ psi \ rangle _ {A} | \ psi \ rangle _ {B} | A \ rangle _ {C} = [\ alpha ^ {2} | 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} + \ beta ^ {2} | 1 \ rangle _ {A} | 1 \ rangle _ {B} + \ alpha \ beta (| 0 \ rangle _ {A} | 1 \ rangle _ {B } + | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B})] | A \ rangle _ {C}}

| \ psi \ rangle _ {A} | \ psi \ rangle _ { B} | A \ rangle _ {C} = [\ alpha ^ {2} | 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} + \ beta ^ {2} | 1 \ rangle _ {A} | 1 \ rangle _ {B} + \ alpha \ beta (| 0 \ rangle _ {A} | 1 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B})] | A \ rangle _ {C}

→ α 2 | 0⟩ A | 0⟩ B | A 0⟩ C + β 2 | 1⟩ A | 0⟩ B | A 1⟩ C + 2 α β | Φ⟩ A B C. {\ displaystyle \ qquad \ rightarrow \ alpha ^ {2} | 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {0} \ rangle _ {C} + \ beta ^ {2} | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {1} \ rangle _ {C} + {\ sqrt {2}} \ alpha \ beta | \ Phi \ rangle _ {ABC}.}

\ qquad \ rightarrow \ alpha ^ {2} | 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {0} \ ra ngle _ {C} + \ beta ^ {2} | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {1} \ rangle _ {C} + {{\ sqrt 2}} \ alpha \ бета | \ Phi \ rangle _ {{ABC}}.

В приведенном выше выражении было использовано следующее преобразование:

1/2 (| 0⟩ A | 1⟩ B + | 1⟩ A | 0⟩ B) | A⟩ C → | Φ⟩ A B C. {\ displaystyle 1 / {\ sqrt {2}} (| 0 \ rangle _ {A} | 1 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B}) | A \ rangle _ {C} \ rightarrow | \ Phi \ rangle _ {ABC}.}

1 / {{\ sqrt 2}} (| 0 \ rangle _ {A} | 1 \ rangle _ {B} + | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B}) | A \ rangle _ {C} \ rightarrow | \ Phi \ rangle _ {{ABC}}.

Однако, если мы можем удалить копию, тогда на выходном порту удаляющей машины комбинированное состояние должно быть

| ψ⟩ A | 0⟩ B | A ′⟩ C = (α | 0⟩ A | 0⟩ B + β | 1⟩ A | 0 B) | A ′⟩ C {\ displaystyle | \ psi \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A '\ rangle _ {C} = (\ alpha | 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} + \ beta | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B}) | A '\ rangle _ {C}}

|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}=(\alpha |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A'\rangle _{C}

В общем, эти состояния не идентичны, и поэтому мы можем сказать, что аппарат не может удалить копию. Если мы потребуем, чтобы конечные состояния вывода были такими же, то мы увидим, что есть только один вариант:

| Φ⟩ знак равно 1/2 (| 0⟩ A | 0⟩ B | A 1⟩ C + | 1⟩ A | 0⟩ B | A 0⟩ C), {\ displaystyle | \ Phi \ rangle = 1 / {\ sqrt {2}} (| 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {1} \ rangle _ {C} + | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {0} \ rangle _ {C}),}

| \ Phi \ rangle = 1 / {{\ sqrt 2}} (| 0 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {1} \ rangle _ {C} + | 1 \ rangle _ {A} | 0 \ rangle _ {B} | A_ {0} \ rangle _ {C}),

| A ′⟩ C = α | A 0⟩ C + β | А 1⟩ С. {\ displaystyle | A '\ rangle _ {C} = \ alpha | A_ {0} \ rangle _ {C} + \ beta | A_ {1} \ rangle _ {C}.}

|A'\rangle _{C}=\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C}.

Поскольку конечное состояние $| Φ⟩ {\ displaystyle | \ Phi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ Phi \ rangle}$ вспомогательной службы нормализовано для всех значений $α, β {\ displaystyle \ alpha, \ beta}$ $\ alpha, \ beta$ должно быть правда, что $| A 0⟩ C {\ displaystyle | A_ {0} \ rangle _ {C}}$ ${\ displaystyle | A_ {0} \ rangle _ {C}}$ и $| A 1⟩ C {\ displaystyle | A_ {1} \ rangle _ {C}}$ ${\ displaystyle | A_ {1} \ rangle _ {C}}$ ортогональны. Это означает, что квантовая информация просто находится в конечном состоянии вспомогательной службы. Всегда можно получить неизвестное состояние из конечного состояния вспомогательной службы, используя локальную операцию в вспомогательном гильбертовом пространстве. Таким образом, линейность квантовой теории не позволяет полностью исключить неизвестное квантовое состояние.

Следствие

Если бы можно было удалить неизвестное квантовое состояние, то, используя две пары состояний EPR, мы могли бы посылать сигналы быстрее света. Таким образом, нарушение теоремы о запрещении удаления несовместимо с условием отсутствия передачи сигналов.
Теоремы о запрете клонирования и удаления указывают на сохранение квантовой информации.
Более сильная версия теоремы о запрете клонирования и теоремы о запрете удаления обеспечивают постоянство квантовой информации. Чтобы создать копию, необходимо импортировать информацию из некоторой части вселенной, а для удаления состояния нужно экспортировать ее в другую часть вселенной, где она будет продолжать существовать.

См. Также

Ссылки