Стоимость мартингейла

редактировать

Ценообразование по мартингейлу - это подход к ценообразованию, основанный на понятиях мартингейла и нейтральности риска. Подход к ценообразованию мартингейл является краеугольным камнем современного количественного финансирования и может применяться к различным контрактам с производными финансовыми инструментами, например, опционам, фьючерсам, производным финансовым инструментам на процентную ставку, кредитным производным инструментам и т.

В отличие от подхода PDE к ценообразованию, формулы ценообразования мартингейла имеют форму ожиданий, которые могут быть эффективно решены численно с использованием подхода Монте-Карло. Таким образом, ценообразование по Мартингейлу предпочтительнее при оценке крупных контрактов, таких как корзина опционов. С другой стороны, оценка контрактов в американском стиле проблематична и требует дискретизации проблемы (превращения ее в бермудский вариант ), и только в 2001 году Ф.А. Лонгстафф и Э.С. Шварц разработали практический метод Монте-Карло для ценообразования американских опционов.

Представление теории меры

Предположим, что состояние рынка может быть представлена фильтрованной вероятностного пространства,. Позвольте быть стохастическим ценовым процессом на этом пространстве. Можно оценить производную ценную бумагу, исходя из философии отсутствия арбитража, как: ${\ displaystyle (\ Omega, ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in [0, T]}, {\ tilde {\ mathbb {P}}})}$ $(\ Omega, ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in [0, T]}, {\ tilde {\ mathbb {P}}})$ ${\ Displaystyle \ {S (т) \} _ {т \ в [0, Т]}}$ $\ {S (t) \} _ {t \ in [0, T]}$ ${\ Displaystyle V (т, S (т))}$ $V (t, S (t))$

{\ Displaystyle D (t) V (t, S (t)) = {\ тильда {\ mathbb {E}}} [D (T) V (T, S (T)) | {\ mathcal {F}} _ {t}], \ qquad dD (t) = - r (t) D (t) \ dt}

D (t) V (t, S (t)) = {\ tilde {\ mathbb {E}}} [D (T) V (T, S (T)) | {\ mathcal {F}} _ {t }], \ qquad dD (t) = - r (t) D (t) \ dt

Где нейтральная к риску мера. ${\ Displaystyle {\ тильда {\ mathbb {P}}}}$ ${\ tilde {\ mathbb {P}}}$

${\ Displaystyle (г (т)) _ {т \ в [0, Т]}}$ $(r (t)) _ {{t \ in [0, T]}}$ - это измеримый (безрисковый, возможно, стохастический) процесс процентной ставки. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ mathcal {F}} _ {t}$

Это достигается за счет почти надежного воспроизведения временной выплаты производного инструмента с использованием только базовых ценных бумаг и безрискового денежного рынка (MMA). Эти базовые активы имеют цены, которые наблюдаемы и известны. В частности, человек строит процесс портфеля в непрерывном времени, где он каждый раз держит акции базовых акций и деньги, зарабатывая безрисковую ставку. Портфель подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению ${\ displaystyle T}$ $Т$ ${\ Displaystyle \ {Х (т) \} _ {т \ в [0, Т]}}$ $\ {X (t) \} _ {t \ in [0, T]}$ ${\ displaystyle \ Delta (t)}$ $\ Дельта (t)$ ${\ displaystyle t}$ $т$ ${\ Displaystyle Х (т) - \ Дельта (т) S (т)}$ $X (t) - \ Delta (t) S (t)$ ${\ Displaystyle г (т)}$ $г (т)$

${\ Displaystyle dX (t) = \ Delta (t) \ dS (t) + r (t) (X (t) - \ Delta (t) S (t)) \ dt}$ $dX (t) = \ Delta (t) \ dS (t) + r (t) (X (t) - \ Delta (t) S (t)) \ dt$

Затем можно попытаться применить теорему Гирсанова с помощью первых вычислений ; то есть производная Радона – Никодима по наблюдаемому рыночному распределению вероятностей. Это гарантирует, что процесс тиражирования дисконтированного портфеля является мартингейлом в условиях нейтрального риска. ${\ displaystyle {\ frac {d {\ tilde {\ mathbb {P}}}} {d \ mathbb {P}}}}$ ${\ frac {d {\ tilde {\ mathbb {P}}}} {d \ mathbb {P}}}$

Если такой процесс может быть четко определен и сконструирован, то результатом будет выбор, что сразу же означает, что это происходит - почти наверняка, поскольку эти две меры эквивалентны. ${\ displaystyle \ Delta (t)}$ $\ Дельта (t)$ ${\ Displaystyle V (0, S (0)) = X (0)}$ $V (0, S (0)) = Х (0)$ ${\ Displaystyle {\ тильда {\ mathbb {P}}} [X (T) = V (T)] = 1}$ ${\ tilde {\ mathbb {P}}} [X (T) = V (T)] = 1$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ $\ mathbb {P}$

Смотрите также

Рекомендации