Броуновская модель финансовых рынков

Модели Броуновского движения для финансовых рынков основаны на работе из Роберта К. Мертона и Пола А. Самуэльсона, в качестве дополнений к рыночным моделям с одним периодом Гарольда Марковица и Уильяма Ф. Шарпа 240>, и связаны с определением концепций финансовых активов и рынков, портфелей, прироста и богатства в терминах непрерывного времени случайных процессов.

Согласно этой модели, эти активы имеют непрерывные цены, постоянно меняющиеся во времени и управляемые процессами броуновского движения. Эта модель требует допущения об идеально делимых активах и рынке без трения (то есть о том, что транзакционные издержки не возникают ни при покупке, ни при продаже). Другое предположение - цены на активы не имеют скачков, то есть на рынке нет сюрпризов. Последнее предположение удалено в моделях скачкообразной диффузии.

Содержание

• 1 Процессы финансового рынка
  • 1.1 Определение
  • 1.2 Расширенная фильтрация
  • 1.3 Облигация
  • 1.4 Акции
  • 1.5 Дивидендная ставка
• 2 Процессы портфеля и получения прибыли
  • 2.1 Определение
  • 2.2 Мотивация
• 3 Процессы получения доходов и благосостояния
  • 3.1 Определение
• 4 Жизнеспособные рынки
  • 4.1 Определение
  • 4.2 Последствия
• 5 Стандартный финансовый рынок
  • 5.1 Определение
  • 5.2 Комментарии
• 6 Полные финансовые рынки
  • 6.1 Определение
  • 6.2 Мотивация
  • 6.3 Следствие
• 7 См. Также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки

Процессы финансового рынка

Рассмотрим финансовый рынок, состоящий из $N\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; +\; 1\}$финансовых активов, где один из этих активов называется облигацией или денежный рынок не подвержен риску, в то время как остальные $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$активы, называемые акциями, являются рискованными.

Определение

Финансовый рынок определяется как $M\; =\; (r,\; b,\; \delta ,\; \sigma ,\; A,\; S\; (0))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; =\; (r,\; \backslash \; mathbf\; \{b\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\},\; A,\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (0))\}$, удовлетворяющий следующему:

1. Вероятностное пространство $(\Omega ,\; F,\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; P)\}$.
2. Временной интервал $[0,\; T]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; T]\}$.
3. A $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$-мерный броуновский процесс $W\; (t)\; =\; (W\; 1\; (t)\dots \; WD\; (t))\; \prime ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; (t)\; =\; (W\_\; \{1\}\; (t)\; \backslash \; ldots\; W\_\; \{D\}\; (t))\; \text{'},\}$где $0\; \le \; t\; \le \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\}$адаптированный для расширенной фильтрации $\{F\; (t);\; 0\; \le \; t\; \le \; T\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (t);\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\; \backslash \}\}$.
4. Измеряемый безрисковый процесс изменения ставки денежного рынка $r\; (t)\; \in \; L\; 1\; [0,\; T]\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (t)\; \backslash \; in\; L\_\; \{1\}\; [0,\; T]\}$.
5. Измеряемая средняя скорость возврата процесса $b:\; [0,\; T]\; \times \; RN\; \to \; R\; \in \; L\; 2\; [0,\; T]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}:\; [0,\; T]\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; in\; L\_\; \{2\}\; [0,\; T]\}$.
6. Измеримая ставка дивидендов процесса возврата $\delta :\; [0,\; T]\; \times \; RN\; \to \; R\; \in \; L\; 2\; [0,\; T]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\}:\; [0,\; T]\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; in\; L\_\; \{2\}\; [0,\; T]\}$.
7. Процесс измеримой волатильности $\sigma :\; [0,\; T]\; \times \; RN\; \times \; D\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}:\; [0,\; T]\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{N\; \backslash \; times\; D\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, такое, что .
8. Измеримая конечная вариация, сингулярно непрерывный стохастический $A\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (t)\}$.
9. Начальные условия, заданные $S\; (0)\; =\; (S\; 0\; (0),\dots \; SN\; (0))\; \prime \; \{\backslash \; displ\; aystyle\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (0)\; =\; (S\_\; \{0\}\; (0),\; \backslash \; ldots\; S\_\; \{N\}\; (0))\; \text{'}\}$.

Расширенная фильтрация

Пусть $(\Omega ,\; F,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Omega,\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\},\; p)\}$быть вероятностным пространством, а $W\; (t)\; =\; (\; W\; 1\; (t)\dots \; WD\; (t))\; \prime ,\; 0\; \le \; T\; \le \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; (t)\; =\; (W\_\; \{1\}\; (t)\; \backslash \; ldots\; W\_\; \{D\}\; (t))\; \text{'},\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\}$- D-мерное броуновское движение случайный процесс с естественной фильтрацией :

$FW\; (t)\; \triangleq \; \sigma \; (\{W\; (s);\; 0\; \le \; s\; \le \; t\}),\; \forall \; t\; \in \; [0,\; T].\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{W\}\}\; (т)\; \backslash \; треугольник\; q\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (\backslash \; \{\backslash \; mathbf\; \{W\}\; (s);\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; leq\; s\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; t\; \backslash \; in\; [0,\; T].\}$

Если $N\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\}$является мерой 0 (т. Е. Ноль по мере $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$) подмножества $FW\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{W\}\; \}\; (t)\}$, затем определите расширенную фильтрацию :

$F\; (t)\; \triangleq \; \sigma \; (FW\; (t)\; \cup \; N),\; \forall \; t\; \in \; [0,\; T]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (t)\; \backslash \; треугольник\; \backslash \; sigma\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{W\}\}\; (t)\; \backslash \; cup\; \{\backslash \; mathcal\; \{N\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; t\; \backslash \; in\; [0,\; T]\}$

Разница между $\{FW\; (t);\; 0\; \le \; T\; \le \; T\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{W\}\}\; (t);\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\; \backslash \}\}$и $\{F\; (t);\; 0\; \le \; t\; \le \; T\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (t);\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\; \backslash \}\}$в том, что оба последних слева -непрерывный в том смысле, что:

и непрерывный вправо, так что:

, в то время как первый только непрерывный слева.

Облигация

Акция облигации (денежный рынок) имеет цену $S\; 0\; (t)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\; (t)>0\}$во время $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$с $S\; 0\; (0)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\; (0)\; =\; 1\}$, непрерывно, $\{F\; (t);\; 0\; \le \; t\; \le \; T\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (t);\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\; \backslash \}\}$адаптировано и имеет конечную вариацию. Поскольку она имеет конечную вариацию, ее можно разложить на абсолютно непрерывную часть $S\; 0\; a\; (\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\; ^\; \{a\}\; (t)\}$и сингулярно непрерывный p art $S\; 0\; s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\; ^\; \{s\}\; (t)\}$, согласно теореме разложения Лебега. Определите:

$r\; (t)\; \triangleq \; 1\; S\; 0\; (t)\; ddt\; S\; 0\; a\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (t)\; \backslash \; Triangleq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{S\_\; \{0\}\; (t)\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; S\_\; \{0\}\; ^\; \{a\}\; (t),\}$и

$A\; (t)\; \triangleq \; \int \; 0\; t\; 1\; S\; 0\; (s)\; d\; S\; 0\; s\; (s),\; \{\backslash \; Displaystyle\; A\; (t)\; \backslash \; треугольник\; q\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{S\_\; \{0\}\; (s)\}\}\; dS\_\; \{0\}\; ^\; \{s\}\; (s),\}$

, что приводит к SDE :

$d\; S\; 0\; (t)\; =\; S\; 0\; (t)\; [r\; (t)\; dt\; +\; d\; A\; (t)],\; \forall \; 0\; \le \; t\; \le \; T,\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\_\; \{0\}\; (t)\; =\; S\_\; \{0\}\; (t)\; [r\; (t)\; dt\; +\; dA\; (t)],\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T,\}$

, что дает:

$S\; 0\; (t)\; =\; ехр\; \; (\int \; 0\; tr\; (s)\; ds\; +\; A\; (t)),\; \forall \; 0\; \le \; t\; \le \; T.\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\_\; \{0\}\; (T)\; =\; \backslash \; ехр\; \backslash \; влево\; (\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; r\; (s)\; ds\; +\; A\; (t)\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T.\}$

Таким образом, легко увидеть, что если $S\; 0\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{0\}\; (t)\}$абсолютно непрерывен (т.е. $A\; (\; \cdot )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (\backslash \; cdot)\; =\; 0\}$), то цена облигации меняется, как стоимость безрискового сберегательного счета с мгновенной процентной ставкой $r\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; (t)\}$, который является случайным, зависящим от времени и $F\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (t)\}$измеримо.

Акции

Цены на акции моделируются как цены на облигации, за исключением случайного колебания компонента (называемого его волатильностью ). В качестве премии за риск, возникающий из-за этих случайных колебаний, средняя норма доходности акции выше, чем у облигации.

Пусть $S\; 1\; (t)\dots \; SN\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{1\}\; (t)\; \backslash \; ldots\; S\_\; \{N\}\; (t)\}$будет строго положительным цены на акцию $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$акций, которые представляют собой непрерывные стохастические процессы, удовлетворяющие:

$d\; S\; n\; (t)\; =\; S\; n\; (t)\; [bn\; (t)\; dt\; +\; d\; A\; (t)\; +\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; \sigma \; n,\; d\; (t)\; d\; W\; d\; (t)],\; \forall \; 0\; \le \; t\; \le \; T,\; n\; =\; 1\dots \; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\_\; \{n\}\; (t)\; =\; S\_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; left\; [b\_\; \{n\}\; (t)\; dt\; +\; dA\; (t)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; d\}\; (t)\; dW\_\; \{d\}\; (t)\; \backslash \; right],\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T,\; \backslash \; quad\; n\; =\; 1\; \backslash \; ldots\; N.\}$

Здесь $\sigma \; n,\; d\; (t),\; d\; =\; 1\dots \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; d\}\; (t),\; \backslash ;\; d\; =\; 1\; \backslash \; ldots\; D\}$дает волатильность $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-я акция, а $bn\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; (t)\}$- ее средняя ставка доходности.

Для сценария ценообразования без арбитража $A\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (t)\}$должен соответствовать определению выше. Решение этой проблемы:

$S\; n\; (t)\; =\; S\; n\; (0)\; exp\; \; (\int \; 0\; t\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; \sigma \; n,\; d\; (s)\; d\; W\; d\; (s)\; +\; \int \; 0\; t\; [bn\; (s)\; -\; 1\; 2\; \sum \; d\; знак\; равно\; 1\; D\; \sigma \; N,\; d\; 2\; (s)]\; ds\; +\; A\; (t)),\; \forall \; 0\; \le \; t\; \le \; T,\; n\; =\; 1\dots \; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\; (t)\; =\; S\_\; \{n\}\; (0)\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; d\}\; (s)\; dW\_\; \{d\; \}\; (s)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; left\; [b\_\; \{n\}\; (s)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; d\}\; ^\; \{2\}\; (s)\; \backslash \; right]\; ds\; +\; A\; (t)\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T,\; \backslash \; quad\; n\; =\; 1\; \backslash \; ldots\; N,\}$

и дисконтированные цены на акции:

$S\; n\; (t)\; S\; 0\; (t)\; =\; S\; n\; (0)\; exp\; \; (\int \; 0\; t\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; \sigma \; n,\; d\; (s)\; d\; W\; d\; (s)\; +\; \int \; 0\; t\; [bn\; (s)\; -\; 1\; 2\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; \sigma \; n,\; d\; 2\; (s)]\; ds)),\; \forall \; 0\; \le \; t\; \le \; T,\; n\; =\; 1\dots \; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{S\_\; \{n\}\; (t)\}\; \{S\_\; \{0\}\; (t)\}\}\; =\; S\_\; \{n\}\; (0)\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; d\}\; (s)\; dW\_\; \{d\}\; (s)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; left\; [b\_\; \{n\}\; (s)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; d\}\; ^\; \{2\}\; (s)\; \backslash \; right]\; ds)\; \backslash \; right),\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T,\; \backslash \; quad\; n\; =\; 1\; \backslash \; ldots\; N.\}$

Обратите внимание на то, что вклад из-за скачков цены облигации $A\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (t)\}$не появляется в этом уравнении.

Ставка дивидендов

Каждая акция может иметь связанный процесс ставки ставки $\delta \; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; (t)\}$с указанием ставки выплаты дивидендов на единицу цены акции в момент времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$. Учет этого в модели дает процесс доходности $Y\; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{n\}\; (t)\}$:

$d\; Y\; n\; (t)\; =\; S\; n\; (t)\; [bn\; (t)\; dt\; +\; d\; A\; (t)\; +\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; \sigma \; n,\; d\; (t)\; d\; W\; d\; (t)\; +\; \delta \; n\; (t)],\; \forall \; 0\; \le \; t\; \le \; T,\; n\; =\; 1\dots \; N.\; \{\backslash \; displaystyle\; dY\_\; \{n\}\; (t)\; =\; S\_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; left\; [b\_\; \{n\}\; (t)\; dt\; +\; dA\; (t)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; d\}\; (t)\; dW\_\; \{d\}\; (t)\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; right],\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T,\; \backslash \; quad\; n\; =\; 1\; \backslash \; ldots\; N.\; \}$

Портфель и процессы получения прибыли

Определение

Рассмотрим финансовый рынок $M\; =\; (r,\; b,\; \delta ,\; \sigma ,\; A,\; S\; (0))\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; =\; (r,\; \backslash \; mathbf\; \{b\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\},\; A,\; \backslash \; mathbf\; \{S\}\; (0))\}$.

Процесс портфолио $(\pi \; 0,\; \pi \; 1,\dots \; \pi \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; pi\; \_\; \{0\},\; \backslash \; pi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots\; \backslash \; pi\; \_\; \{N\})\}$для этого рынка an $F\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (t)\}$измеримый, $RN\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{N\; +\; 1\}\; \}$оцениваемый процесс такой, что:

, почти наверняка,

, почти наверняка, и

, почти наверняка.

Процесс получения прибыли для этого портфеля:

$G\; (t)\; \triangleq \; \int \; 0\; t\; [\sum \; n\; =\; 0\; N\; \pi \; n\; (t)]\; (r\; (s)\; ds\; +\; d\; A\; (s))\; +\; \int \; 0\; t\; [\sum \; n\; =\; 1\; N\; \pi \; n\; (t)\; (bn\; (t)\; +\; \delta \; n\; (t)\; -\; r\; (t))]\; dt\; +\; \int \; 0\; t\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; N\; \sigma \; N,\; d\; (T)\; \pi \; N\; (T)\; d\; W\; d\; (s)\; 0\; \le \; T\; \le \; T\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; (t)\; \backslash \; треугольник\; q\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; right]\; \backslash \; left\; (r\; (s)\; ds\; +\; dA\; (s)\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; left\; (b\_\; \{n\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\}\; \_\; \{n\}\; (t)\; -r\; (t)\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; dt\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; sigma\}\; \_\; \{n,\; d\}\; (t)\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (t)\; dW\_\; \{d\}\; (s)\; \backslash \; quad\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\}$

Мы говорим, что портфель самофинансируется если:

$G\; (t)\; =\; \sum \; N\; =\; 0\; N\; \pi \; N\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (\; t)\}$.

Получается, что для самофинансируемого портфеля соответствующее значение $\pi \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{0\}\}$определяется из $\pi \; =\; (\pi \; 1,\dots \; \pi \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; =\; (\backslash \; pi\; \_\; \{1\},\; \backslash \; ldots\; \backslash \; pi\; \_\; \{N\})\}$и, следовательно, иногда $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$упоминается как процесс портфолио. Кроме того, подразумевает заимствование денег на денежном рынке, а подразумевает открытие короткой позиции по акции.

Элемент $bn\; (t)\; +\; \delta \; n\; (t)\; -\; r\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\}\; \_\; \{n\}\; (t)\; -r\; (t)\}$в SDE $G\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (t)\}$- это процесс премии за риск, и это компенсация, полученная в обмен на вложение в $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-ю акцию.

Мотивация

Рассмотрим временные интервалы , и пусть $\nu \; n\; (tm)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\; (t\_\; \{m\; \})\}$- количество акций актива $n\; =\; 0\dots \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 0\; \backslash \; ldots\; N\}$, находящихся в портфеле в течение временного интервала во времени. $[tm,\; tm\; +\; 1\; m\; =\; 0\dots \; M\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; [t\_\; \{m\},\; t\_\; \{m\; +\; 1\}\; \backslash ;\; m\; =\; 0\; \backslash \; ldots\; M-1\}$. Чтобы избежать случая инсайдерской торговли (т.е. предвидения будущего), требуется, чтобы $\nu \; n\; (tm)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\; (t\_\; \{m\})\}$$F\; (tm)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (t\_\; \{m\})\}$измеримым.

Следовательно, дополнительная прибыль на каждом торговом интервале из такого портфеля составляет:

$G\; (0)\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (0)\; =\; 0,\}$

$G\; (tm\; +\; 1)\; -\; Г\; (тм)\; знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; N\; \nu \; N\; (тм)\; [Y\; n\; (тм\; +\; 1)\; -\; Y\; n\; (тм)],\; т\; =\; 0\dots \; М\; -\; 1,\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; (т\; \{т\; +\; 1\})\; -\; G\; (t\_\; \{m\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\; (t\_\; \{m\})\; [Y\_\; \{n\}\; (t\_\; \{m\; +\; 1\})\; -\; Y\_\; \{n\}\; (t\_\; \{m\})],\; \backslash \; quad\; m\; =\; 0\; \backslash \; ldots\; M-1,\}$

и $G\; (m)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (m)\}$равно общая прибыль с течением времени $[0,\; tm]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; t\_\; \{m\}]\}$, тогда как общая стоимость портфеля составляет $\sum \; n\; =\; 0\; N\; \nu \; n\; (tm)\; S\; N\; (tm)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\; (t\_\; \{m\})\; S\_\; \{n\}\; (t\_\; \{m\})\}$.

Определить $\pi \; n\; (t)\; \triangleq \; \nu \; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; треугольник\; \backslash \; nu\; \_\; \{n\}\; (t)\}$, отпустить временное разделение к нулю и замените $Y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (t)\}$, как определено ранее, чтобы получить соответствующее SDE для процесса усиления. Здесь $\pi \; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (t)\}$обозначает сумму в долларах, вложенную в актив $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$в момент $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, а не количество принадлежащих ему акций.

Процессы получения дохода и состояния

Определение

Учитывая финансовый рынок $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$, тогда процесс накопления дохода $\Gamma \; (t)\; 0\; \le \; t\; \le \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (t)\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\}$является семимартингалом и представляет доход, накопленный с течением времени $[0,\; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; t]\}$за счет других источников, кроме инвестиций в $N\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; +\; 1\}$активы финансового рынка.

Процесс благосостояния $X\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (t)\}$затем определяется как:

$X\; (t)\; \triangleq \; G\; (t)\; +\; \Gamma \; (\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (t)\; \backslash \; треугольник\; q\; G\; (t)\; +\; \backslash \; Gamma\; (t)\}$

и представляет собой общее богатство инвестора в момент $0\; \le \; t\; \le \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\}$. Портфель называется $\Gamma \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (t)\}$-financed, если:

$X\; (t)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; N\; \pi \; n\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (t).\}$

Соответствующее SDE для процесса благосостояния с помощью соответствующих замен становится:

$d\; X\; (t)\; =\; d\; \Gamma \; (t)\; +\; X\; (t)\; [r\; (t)\; dt\; +\; d\; A\; (t)]\; +\; \sum \; n\; =\; 1\; N\; [\pi \; n\; (t)\; (bn\; (t)\; +\; \delta \; n\; (T)\; -\; р\; (t))]\; +\; \sum \; d\; знак\; равно\; 1\; D\; [\sum \; N\; =\; 1\; N\; \pi \; N\; (t)\; \sigma \; N,\; d\; (t)]\; d\; W\; d\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; dX\; (t)\; =\; d\; \backslash \; Gamma\; (t)\; +\; X\; (t)\; \backslash \; left\; [r\; (t)\; dt\; +\; dA\; (t)\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; left\; (b\_\; \{n\}\; (t)\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; (t)\; -r\; (t)\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (t)\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; d\}\; (t)\; \backslash \; right]\; dW\_\; \{d\}\; (t)\}$.

Обратите внимание, что снова в этом В этом случае значение $\pi \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{0\}\}$можно определить из $\pi \; n,\; n\; =\; 1\dots \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \_\; \{n\},\; \backslash ;\; n\; =\; 1\; \backslash \; ldots\; N\}$.

Жизнеспособные рынки

Стандартная теория математических финансов ограничена жизнеспособными финансовыми рынками, то есть теми, на которых нет возможностей для арбитража. Если такие возможности существуют, это подразумевает возможность получения сколь угодно большой безрисковой прибыли.

Определение

На финансовом рынке $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$, процесс самофинансирования портфеля $\pi \; (\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (t)\}$считается арбитражной возможностью, если связанный процесс получения прибыли $G\; (T)\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (T)\; \backslash \; geq\; 0\}$, почти наверняка и $P\; [G\; (T)>0]>0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; [G\; (T)>0]>0\}$строго. Рынок $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$, в котором такого портфеля нет, считается жизнеспособным.

Последствия

На жизнеспособном рынке $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$, существует $F\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (t)\}$адаптированный процесс $\theta :\; [0,\; T]\; \times \; RD\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta:\; [0,\; T]\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$такой, что для l почти каждый $t\; \in \; [0,\; T]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; [0,\; T]\}$:

$bn\; (t)\; +\; \delta \; n\; (t)\; -\; r\; (t)\; =\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; \sigma \; n\; d\; (t)\; \theta \; d\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\}\; \_\; \{n\}\; (t)\; -r\; (t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{\; D\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; d\}\; (t)\; \backslash \; theta\; \_\; \{d\}\; (t)\}$.

Этот $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$называется рыночной ценой риска. и связывает премию для $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- акции с ее волатильностью $\sigma \; n,\; \cdot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; \backslash \; cdot\}\}$.

И наоборот, если существует D-мерный процесс $\theta \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; (t)\}$такой, что он удовлетворяет вышеуказанному требованию, и:

$E\; [exp\; \; \{-\; 0\; T\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; \theta \; d\; (t)\; d\; W\; d\; (t)\; -\; 1\; 2\; \int \; 0\; T\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; |\; \theta \; d\; (t)\; |\; 2\; dt\}]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; exp\; \backslash \; left\; \backslash \; \{-\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{\; d\}\; (t)\; dW\_\; \{d\}\; (t)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; |\; \backslash \; theta\; \_\; \{\; d\}\; (t)\; |\; ^\; \{2\}\; dt\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \; right]\; =\; 1\}$,

, тогда рынок жизнеспособен.

Кроме того, на жизнеспособном рынке $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$может быть только один денежный рынок (облигация) и, следовательно, только одна безрисковая ставка. Следовательно, если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-я акция не влечет за собой риска (например, $\sigma \; n,\; d\; =\; 0,\; d\; =\; 1\dots \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; d\}\; =\; 0,\; \backslash ;\; d\; =\; 1\; \backslash \; ldots\; D\}$) и не выплачивает дивиденды (например, $\delta \; n\; (t)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{n\}\; (t)\; =\; 0\}$), то его доходность равна ставке денежного рынка (т.е. $bn\; (t)\; =\; r\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; (t)\; =\; r\; (\; t)\}$), а его цена соответствует цене облигации (т. е. $S\; n\; (t)\; =\; S\; n\; (0)\; S\; 0\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\; (t)\; =\; S\_\; \{n\}\; (0)\; S\_\; \{0\}\; (t)\}$).

Стандартный финансовый рынок

Определение

Финансовый рынок $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$называется стандартным, если:

(i) Это жизнеспособно.

(ii) количество акций $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$не превышает размер $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$лежащего в основе процесса броуновского движения $W\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; (t)\}$.

(iii) Рыночная цена процесса риска $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$удовлетворяет:

, почти наверняка.

(iv) Положительный процесс $Z\; 0\; (t)\; =\; exp\; \; \{-\; \int \; 0\; t\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; \theta \; d\; (t)\; d\; W\; d\; (t)\; -\; 1\; 2\; \int \; 0\; t\; \sum \; d\; =\; 1\; D\; |\; \theta \; d\; (t)\; |\; 2\; dt\}\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{0\}\; (t)\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; \backslash \; \{-\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; \backslash \; theta\; \_\; \{d\}\; (\; t)\; dW\_\; \{d\}\; (t)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{d\; =\; 1\}\; ^\; \{D\}\; |\; \backslash \; theta\; \_\; \{d\}\; (\; t)\; |\; ^\; \{2\}\; dt\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$- это мартингейл.

Комментарии

В случае, если количество акций $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$больше, чем размер $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$, в нарушение пункта (ii) из линейной алгебры видно, что существует $N\; -\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; ND\}$акции, волатильность которых (заданная вектором $(\sigma \; n,\; 1\dots \; \sigma \; n,\; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; 1\}\; \backslash \; ldots\; \backslash \; sigma\; \_\; \{n,\; D\})\}$) представляют собой линейную комбинацию волатильностей $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$других акций (поскольку ранг $\sigma \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$равно $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$). Следовательно, акции $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$могут быть заменены эквивалентными паевыми фондами $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$.

Стандартная мера мартингейла $P\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\}$на $F\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (T)\; \}$для стандартного рынка определяется как:

$P\; 0\; (A)\; \triangleq \; E\; [Z\; 0\; (T)\; 1\; A],\; \forall \; A\; \in \; F\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; (A)\; \backslash \; треугольник\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; [Z\_\; \{0\}\; (T)\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\; \_\; \{A\}],\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; A\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (T)\}$.

Обратите внимание, что $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и $P\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\}$являются абсолютно непрерывными по каждому другое, т.е. они эквивалентны. Кроме того, согласно теореме Гирсанова,

$W\; 0\; (t)\; \triangleq \; W\; (t)\; +\; \int \; 0\; t\; \theta \; (s)\; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \_\; \{0\}\; (t)\; \backslash \; треугольникq\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; (t)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; theta\; (s)\; ds\}$,

- это $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$-мерный процесс броуновского движения на фильтрация $\{F\; (t);\; 0\; \le \; t\; \le \; T\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (t);\; \backslash ;\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; T\; \backslash \}\}$относительно $P\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\}$.

Полные финансовые рынки

Полноценные финансовые рынки - это рынок, который позволяет эффективно хеджировать риски, присущие любой инвестиционной стратегии.

Определение

Пусть $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$будет стандартным финансовым рынком, а $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \}$быть $F\; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; (T)\}$-измеримой случайной величиной, такой что:

$P\; 0\; [\; BS\; 0\; (T)>-\; \infty ]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{0\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{B\}\; \{S\_\; \{0\}\; (T)\}\}>-\; \backslash \; infty\; \backslash \; right]\; =\; 1\}$.

,

Рынок $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\}$считается полным, если каждый такой $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$является финансируемым, т. е. если существует $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$-финансируемый процесс портфеля $(\pi \; n\; (\; t);\; n\; =\; 1\dots \; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; pi\; \_\; \{n\}\; (t);\; \backslash ;\; n\; =\; 1\; \backslash \; ldots\; N)\}$, так что связанный с ним процесс богатства $X\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (t)\}$удовлетворяет

$X\; (t)\; =\; B\; \{\backslash \; displ\; aystyle\; X\; (t)\; =\; B\}$, почти наверняка.

Мотивация

Если конкретная инвестиционная стратегия требует выплаты $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$в момент $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, количество которого неизвестно в момент $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$, затем консервативной стратегией было бы отложить сумму $x\; =\; sup\; \omega \; B\; (\omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; sup\; \_\; \{\backslash \; omega\}\; B\; (\backslash \; omega)\}$для покрытия платежа. Однако на полноценном рынке можно отложить меньше капитала (а именно, $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$) и инвестировать его так, чтобы в момент $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$он вырос до размера $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$.

Следствие

Стандартный финансовый рынок $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{M\}\}\; \}$является полным тогда и только тогда, когда $N\; =\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; D\}$и $N\; \times \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; times\; D\}$произвольно обрабатывать $\sigma \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (t)\}$неособое число почти для каждого $t\; \in \; [0,\; T]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; [0,\; T]\}$, относительно меры Лебега.

См. также

• модель Блэка-Шоулза
• Мартингейл-ценообразование
• Математические финансы
• Монте Метод Карло

Примечания

1. ^Цеков, Румен (2013). «Броуновские рынки». Подбородок. Phys. Lett. 30 (8): 088901. arXiv : 1010.2061. Bibcode : 2013ChPhL..30h8901T. doi : 10.1088 / 0256-307X / 30/8/088901.
2. ^Каратсас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1991). Броуновское движение и стохастическое исчисление. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97655-8.

Ссылки

Каратзас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1998). Методы математических финансов. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94839-2.

Корн, Ральф; Корн, Эльке (2001). Ценообразование опционов и оптимизация портфеля: современные методы финансовой математики. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2123-7.

Мертон, Р.С. (1 августа 1969 г.). «Выбор пожизненного портфеля в условиях неопределенности: случай непрерывного времени» (PDF). Обзор экономики и статистики. 51 (3): 247–257. doi : 10.2307 / 1926560. ISSN 0034-6535. JSTOR 1926560.

Мертон, Р.С. (1970). «Оптимальное потребление и правила портфеля в модели непрерывного времени» (PDF). Журнал экономической теории. 3 (4): 373–413. doi : 10.1016 / 0022-0531 (71) 90038-x. Проверено 29 мая 2009 г.