Затемнение к краю

A отфильтрованное изображение Солнца в видимом свете, демонстрирующее эффект затемнения к краю в виде более тусклой яркости по направлению к краю или краю солнечного диска. Изображение было получено во время прохождения Венеры в 2012 году (здесь показано темным пятном в правом верхнем углу).

Затемнение к краю - это оптический эффект, наблюдаемый у звезд (включая Солнце ), где центральная часть диска кажется ярче края, или край. Его понимание предоставило ранним солнечным астрономам возможность создавать модели с такими градиентами. Это стимулировало развитие теории переноса излучения.

Идеализированный случай потемнения конечностей. Внешняя граница - это радиус, на котором фотоны, испускаемые звездой, больше не поглощаются. L - расстояние, на котором оптическая толщина равна единице. Высокотемпературные фотоны, излучаемые в точке A, едва ускользнут от звезды, как и низкотемпературные фотоны, излучаемые в точке B. Этот рисунок не в масштабе. Например, для Солнца L будет всего несколько сотен км.

Оптическая глубина, мера непрозрачности объекта или части объекта, сочетается с эффективный градиент температуры внутри звезды вызывает потемнение к краю. Видимый свет является приблизительно интегралом всего излучения вдоль луча зрения, модулированного оптической глубиной до наблюдателя (т. Е. В 1 / e раз больше излучения на 1 оптической глубине, в 1 / e раз больше излучения на 2 оптических глубинах и т. Д.). Вблизи центра звезды оптическая глубина практически бесконечна, что обеспечивает примерно постоянную яркость. Однако эффективная оптическая глубина уменьшается с увеличением радиуса из-за более низкой плотности газа и более короткого расстояния прямой видимости через звезду, вызывая постепенное затемнение, пока оно не станет равным нулю на видимом крае звезды.

эффективная температура фотосферы также уменьшается с увеличением расстояния от центра звезды. Излучение, испускаемое газом, приблизительно равно излучению черного тела, интенсивность которого пропорциональна четвертой степени температуры. Следовательно, даже в направлениях прямой видимости, где оптическая глубина не конечна, излучаемая энергия исходит из более холодных частей фотосферы, в результате чего меньшая общая энергия достигает зрителя.

Температура в атмосфере звезды не всегда уменьшается с увеличением высоты. Для некоторых спектральных линий оптическая толщина наибольшая в областях с повышением температуры. В этом сценарии вместо этого наблюдается феномен «осветления конечностей». На Солнце наличие области минимума температуры означает, что осветление конечностей должно начинать преобладать в дальних инфракрасных или радиодиапазонах длинах волн. Выше нижних слоев атмосферы и значительно выше области минимума температуры Солнце окружено солнечной короной, которая составляет миллион- кельвин . Для большинства длин волн эта область оптически тонкая, то есть имеет небольшую оптическую толщину, и, следовательно, ее необходимо осветлить, если она сферически симметрична.

Геометрия затемнения по краю. Центр звезды находится в точке O и имеет радиус R. Наблюдатель находится в точке P на расстоянии r от центра звезды и смотрит на точку S на поверхности звезды. С точки зрения наблюдателя, S находится под углом θ от линии, проходящей через центр звезды, а край или край звезды находится под углом Ω.

На рисунке, показанном здесь, пока если наблюдатель в точке P находится за пределами атмосферы звезды, интенсивность, наблюдаемая в направлении θ, будет функцией только угла падения ψ. Это наиболее удобно аппроксимировать как полином от cos ψ:

$I\; (\psi )\; I\; (0)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; N\; ak\; cos\; k\; \; \psi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{I\; (\backslash \; psi)\}\; \{I\; (0)\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; a\_\; \{k\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{k\}\; \backslash \; psi,\}$

где I (ψ) - интенсивность, наблюдаемая в точке P вдоль линии угол формирования зрения ψ по отношению к радиусу звезды, а I (0) - центральная интенсивность. Для того, чтобы соотношение было единицей для ψ = 0, мы должны иметь

$\sum \; k\; =\; 0\; N\; ak\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; a\_\; \{k\}\; =\; 1.\}$

Например, для излучателя Ламберта (без затемнения к краю) у нас будет все k = 0, кроме 1 = 1. В качестве другого примера, для Солнца на расстоянии 550 нанометров (5,5 × 10 м) потемнение к краю хорошо выражается выражением N = 2 и

$a\; 0\; =\; 1\; -\; a\; 1\; -\; a\; 2\; =\; 0,3,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; =\; 1-a\_\; \{1\}\; -a\_\; \{2\}\; =\; 0,3,\}$

$a\; 1\; =\; 0,93,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; =\; 0,93,\}$

$a\; 2\; =\; -\; 0,23\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\; =\; -\; 0,23\}$

(см. Cox, 2000). Уравнение потемнения конечностей иногда удобнее записывать как

$I\; (\psi )\; I\; (0)\; =\; 1\; +\; \sum \; k\; =\; 1\; NA\; k\; (1\; -\; cos\; \; \psi )\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{I\; (\backslash \; \backslash \; psi)\}\; \{I\; (0)\}\}\; =\; 1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; A\_\; \{k\}\; (1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi)\; ^\; \{k\},\}$

который теперь имеет N независимые коэффициенты, а не N + 1 коэффициенты, сумма которых должна быть равна единице.

Константы a k могут быть связаны с константами A k. Для N = 2

$A\; 1\; =\; -\; (a\; 1\; +\; 2\; \ast \; a\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\}\; =\; -\; (a\_\; \{1\}\; +\; 2\; *\; a\_\; \{2\}),\}$

$A\; 2\; =\; а\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{2\}\; =\; a\_\; \{2\}.\}$

Для Солнца на длине волны 550 нм, мы имеем

$A\; 1\; =\; -\; 0,47,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\}\; =\; -0,47,\}$

$A\; 2\; =\; -\; 0,23.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{2\}\; =\; -\; 0,23.\}$

Эта модель дает интенсивность на краю диска Солнца, составляющую всего 30% от интенсивности в центре диска.

Эти формулы можно преобразовать в функции от θ, используя замену

$cos\; \; \psi \; =\; cos\; 2\; \; \theta \; -\; cos\; 2\; \; \Omega \; sin\; \; \Omega \; =\; 1\; -\; (sin\; \; \theta \; sin\; \; \Omega )\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Omega\}\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; Omega\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; Omega\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\},\}$

где Ω - угол от наблюдателя до лимба звезды. Для малых θ имеем

$cos\; \; \psi \; \approx \; 1\; -\; (\theta \; sin\; \; \Omega )\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; Omega\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Мы видим, что производная cos ψ бесконечна на краю.

Вышеупомянутое приближение можно использовать для получения аналитического выражения для отношения средней интенсивности к центральной интенсивности. Средняя интенсивность I m представляет собой интеграл интенсивности по диску звезды, деленный на телесный угол, образованный диском:

$I\; m\; =\; \int \; I\; (\psi )\; d\; \omega \; \int \; d\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; I\; (\backslash \; psi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; omega\}\; \{\backslash \; int\; d\; \backslash \; omega\}\},\}$

где dω = sin θ dθ dφ - элемент телесного угла, а интегралы идут по кругу: 0 ≤ φ ≤ 2π и 0 ≤ θ ≤ Ω. Мы можем переписать это как

$I\; m\; =\; \int \; cos\; \; \Omega \; 1\; I\; (\psi )\; d\; cos\; \; \theta \; \int \; cos\; \; \Omega \; 1\; d\; cos\; \; \theta \; =\; \int \; cos\; \; \Omega \; 1\; I\; (\psi )\; d\; cos\; \; \theta \; 1\; -\; cos\; \; \Omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; Omega\}\; ^\; \{1\}\; I\; (\backslash \; psi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; Omega\}\; ^\; \{\; 1\}\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; Omega\}\; ^\; \{1\}\; I\; (\backslash \; psi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \{1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; Omega\}\}.\; \}$

Хотя это уравнение можно решить аналитически, оно довольно громоздко. Однако для наблюдателя, находящегося на бесконечном расстоянии от звезды, $d\; cos\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}$можно заменить на $sin\; 2\; \; \Omega \; cos\; \; \psi \; d\; cos\; \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Omega\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\}$, поэтому мы имеем

$I\; m\; =\; \int \; 0\; 1\; I\; (\psi )\; cos\; \; \psi \; d\; соз\; \; \psi \; \int \; 0\; 1\; соз\; \; \psi \; d\; соз\; \; \psi \; =\; 2\; \int \; 0\; 1\; I\; (\psi )\; соз\; \; \psi \; d\; соз\; \; \psi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; I\; (\backslash \; psi)\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\}\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\}\}\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; I\; (\backslash \; psi)\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi,\}$

, что дает

$I\; m\; I\; (0)\; =\; 2\; \sum \; k\; =\; 0\; N\; akk\; +\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{m\}\}\; \{I\; (0)\}\}\; =\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{k\}\}\; \{k\; +\; 2\}\}.\}$

Для Солнца на длине волны 550 нм это означает, что средняя интенсивность составляет 80,5% от интенсивности в центре.