Метод усреднения Крылова – Боголюбова

Метод усреднения Крылова – Боголюбова (Метод усреднения Крылова – Боголюбова ) - математический метод приближенного анализа колебательных процессов в нелинейной механике. Метод основан на принципе усреднения, когда точное дифференциальное уравнение движения заменяется его усредненным вариантом. Метод назван в честь Николая Крылова и Николая Боголюбова.

Начиная с работ Гаусс, Фату <22, использовались различные схемы усреднения для исследования задач небесной механики.>, Делоне, Хилл. Важность вклада Крылова и Боголюбова заключается в том, что они разработали общий подход к усреднению и доказали, что решение усредненной системы приближает точную динамику.

Усреднение Крылова – Боголюбова может быть используется для аппроксимации колебательных задач, когда классическое разложение возмущений не удается. Это проблемы сингулярного возмущения колебательного типа, например поправка Эйнштейна к прецессии перигелия Меркурия.

Метод имеет дело с дифференциальными уравнениями в форме

$d\; 2\; udt\; 2\; +\; К\; 2\; U\; знак\; равно\; a\; +\; \epsilon \; е\; (u,\; dudt)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; u\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; k\; ^\; \{2\}\; u\; =\; a\; +\; \backslash \; varepsilon\; f\; \backslash \; left\; (u,\; \{\backslash \; frac\; \{du\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\}$

для гладкой функции f вместе с соответствующими начальными условиями. Предполагается, что параметр ε удовлетворяет

Если ε = 0, тогда уравнение становится уравнением простого гармонического осциллятора с постоянным воздействием, и общее решение:

$u\; (t)\; =\; ak\; 2\; +\; A\; sin\; \; (kt\; +\; B),\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{k\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; A\; \backslash \; sin\; (kt\; +\; B),\}$

где A и B выбираются для соответствия начальным условиям. Предполагается, что решение возмущенного уравнения (когда ε ≠ 0) принимает ту же форму, но теперь A и B могут изменяться с t (и ε). Если также принять, что

$dudt\; =\; k\; A\; (t)\; cos\; \; (kt\; +\; B\; (t)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{du\}\; \{dt\}\}\; =\; kA\; (t)\; \backslash \; cos\; (kt\; +\; B\; (t)),\}$

, то можно показать, что A и B удовлетворяют дифференциальному уравнению:

$ddt\; [AB]\; =\; \epsilon \; kf\; (ak\; 2\; +\; A\; sin\; \; (\varphi ),\; k\; A\; cos\; \; (\; \varphi ))\; [соз\; \; (\varphi )\; -\; 1\; A\; sin\; \; (\varphi )],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; A\; \backslash \backslash \; B\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \{k\}\}\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{k\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; A\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi),\; kA\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi)\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; phi)\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{A\}\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; phi)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

где $\varphi \; =\; kt\; +\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; kt\; +\; B\}$. Обратите внимание, что это уравнение по-прежнему точное - никаких приближений еще не сделано. Метод Крылова и Боголюбова заключается в том, чтобы отметить, что функции A и B медленно меняются со временем (пропорционально ε), поэтому их зависимость от $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$может быть (приблизительно) удаляется усреднением в правой части предыдущего уравнения:

$ddt\; [A\; 0\; B\; 0]\; =\; \epsilon \; 2\; \pi \; k\; \int \; 0\; 2\; \pi \; f\; (ak\; 2\; +\; A\; 0\; sin\; \; (\theta ),\; k\; A\; 0\; cos\; \; (\theta ))\; [соз\; \; (\theta )\; -\; 1\; A\; 0\; грех\; \; (\theta )]\; d\; \theta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; A\_\; \{0\}\; \backslash \backslash \; B\_\; \{0\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \{2\; \backslash \; pi\; k\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; f\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{k\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; +\; A\_\; \{0\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta),\; kA\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{A\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; d\; \backslash \; theta,\}$

где $A\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{0\}\}$и $B\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0\}\}$фиксируются во время интеграции. После решения этой (возможно) более простой системы дифференциальных уравнений усредненное приближение Крылова – Боголюбова для исходной функции будет иметь вид

$u\; 0\; (t,\; \epsilon ):\; =\; ak\; 2\; +\; A\; 0\; (t,\; \epsilon )\; sin\; \; (kt\; +\; B\; 0\; (t,\; \epsilon )).\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\; (t,\; \backslash \; varepsilon):\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{k\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; A\_\; \{0\}\; (t,\; \backslash \; varepsilon)\; \backslash \; sin\; (kt\; +\; B\_\; \{0\}\; (\; t,\; \backslash \; varepsilon)).\}$

Было показано, что это приближение удовлетворяет

$|\; u\; (t,\; \epsilon )\; -\; u\; 0\; (t,\; \epsilon )\; |\; \le \; C\; 1\; \epsilon ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; u\; (t,\; \backslash \; varepsilon)\; -u\_\; \{0\}\; (t,\; \backslash \; varepsilon)\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; C\_\; \{1\}\; \backslash \; varepsilon,\}$

где t удовлетворяет

$0\; \le \; t\; \le \; C\; 2\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{C\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}$

для некоторых констант $C\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{1\}\; \}$и $C\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{2\}\}$, независимо от ε.