Теорема Хирцебруха о сигнатуре
редактировать
Дает сигнатуру гладкого компактного ориентированного многообразия в терминах чисел Понтрягина
В дифференциальной топологии - область математики, сигнатурная теорема Хирцебруха (иногда называемая теоремой Хирцебруха об индексе) - это результат Фридриха Хирцебруха 1954 года, выражающий сигнатуру гладкого компактного ориентированного многообразия посредством линейная комбинация чисел Понтрягина, названная L-родом. Он был использован при доказательстве теоремы Хирцебруха – Римана – Роха.
Содержание
- 1 Формулировка теоремы
- 2 Набросок доказательства теоремы о сигнатуре
- 3 Обобщения
- 4 Ссылки
Формулировка теоремы
L-род - это род мультипликативной последовательности многочленов, связанных с характеристическим степенным рядом
Первые два из полученных L-многочленов:
Взяв за Классы Понтрягина касательного расслоения 4n-мерного гладкого компактного и ориентированного многообразия M получаются L-классы М. Хирцебруха показал, что n-й L-класс M, вычисленный на фундаментальном классе M, , равен , подпись M (т. е. подпись формы пересечения на 2-й группе когомологий M):
Эскиз доказательства теорема о сигнатуре
Рене Том ранее доказал, что сигнатура задается некоторой линейной комбинацией чисел Понтрягина, и Хирцебрух нашел точную формулу для этой линейной комбинации, введя понятие рода мультипликативной последовательности.
Поскольку рациональное кольцо ориентированных кобордизмов равно
алгебра полиномов, порожденная классами ориентированных кобордизмов четномерных комплексных проективных пространств, достаточно проверить, что
для всех i.
Обобщения
Теорема о сигнатуре является частным случаем теоремы Атьи – Сингера об индексе для оператора сигнатуры. Аналитический индекс оператора сигнатуры равен сигнатуре многообразия, а его топологический индекс - это L-род многообразия. По теореме Атьи – Зингера об индексе они равны.
Ссылки
- F. Хирцебрух, Сигнатурная теорема. Воспоминания и отдых. Перспективы в математике, Annals of Mathematical Studies, Band 70, 1971, S. 3–31.
- Милнор Джон У. ; Сташев, Джеймс Д. (1974). Характерные классы. Летопись математических исследований. Принстон, Нью-Джерси; Токио: Princeton University Press / University of Tokyo Press. ISBN 0-691-08122-0.