Модель Хестона

В сфере финансов модель Хестона, названная в честь Стивена Хестона, является математическая модель, описывающая эволюцию волатильности базового актива. Это модель стохастической волатильности : такая модель предполагает, что волатильность актива не постоянна и даже не детерминирована, а следует случайному процессу.

• 1 Базовая модель Хестона
• 2 Риск-нейтральная мера
• 3 Реализация
• 4 Калибровка
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Базовая модель Heston предполагает, что S t, цена актива, определяется стохастическим процессом:

$d\; S\; t\; =\; \mu \; S\; tdt\; +\; \nu \; t\; S\; td\; W\; t\; S\; \{\backslash \; displaystyle\; dS\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; mu\; S\_\; \{t\; \}\; \backslash ,\; dt\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{t\}\}\}\; S\_\; \{t\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\}\; ^\; \{S\}\; \backslash ,\}$

где $\nu \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{t\; \}\}$, мгновенная дисперсия, представляет собой процесс CIR :

$d\; \nu \; t\; =\; \kappa \; (\theta \; -\; \nu \; t)\; dt\; +\; \xi \; \nu \; td\; W\; t\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; nu\; \_\; \{\; t\}\; =\; \backslash \; kappa\; (\backslash \; theta\; -\; \backslash \; nu\; \_\; \{t\})\; \backslash ,\; dt\; +\; \backslash \; xi\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; nu\; \_\; \{t\}\}\}\; \backslash ,\; dW\_\; \{t\}\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash ,\}$

и $W\; t\; S,\; W\; t\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; W\_\; \{t\}\; ^\; \{S\},\; W\_\; \{t\}\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}$являются винеровскими процессами (т.е., непрерывные случайные блуждания) с корреляцией ρ или, что то же самое, с ковариацией ρ dt.

Параметры в приведенных выше уравнениях представляют следующее:

• $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- норма доходности актива.
• $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \}$- долгосрочная дисперсия или дисперсия долгосрочной средней цены; поскольку t стремится к бесконечности, ожидаемое значение ν t стремится к θ.
• $\kappa \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\}$- скорость, с которой ν t возвращается к θ.
• $\xi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\}$- волатильность волатильности, или «объем объема», и определяет дисперсию ν t.

, если параметры подчиняются следующим (известное как условие Феллера), то процесс $\nu \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{t\}\}$строго положителен

$2\; \kappa \; \theta >\xi \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; kappa\; \backslash \; theta>\backslash \; xi\; ^\; \{2\}\; \backslash ,.\}$

См. Мера, нейтральная к риску, для полной статьи

Фундаментальная концепция ценообразования деривативов - это мера, не зависящая от риска ; это подробно объясняется в статье выше. Для наших целей достаточно отметить следующее:

1. Чтобы установить цену на производный инструмент, выплата которого зависит от одного или нескольких базовых активов, мы оцениваем ожидаемую стоимость его дисконтированной выплаты с использованием нейтральной по отношению к риску меры.
2. Нейтральная к риску мера, также известная как эквивалентный мартингейл. мера, эквивалентна реальной мере и не требует арбитража: при такой мере дисконтированная цена каждого из базовых активов является мартингалом. См. теорему Гирсанова.
3. в Блэк-Скоулз и Хестон фра meworks (где фильтрации генерируются только из линейно независимого набора винеровских процессов), любая эквивалентная мера может быть описана в очень широком смысле, добавляя дрейф к каждому из винеровских процессов.
4. Выбирая определенные значения для описанных выше отклонений, мы можем получить эквивалентную меру, которая удовлетворяет условию отсутствия арбитража.

Рассмотрим общую ситуацию, когда у нас есть $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$базовые активы и линейно независимые набор $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$винеровских процессов. Набор эквивалентных мер изоморфен R, пространству возможных смещений. Считаем, что набор эквивалентных мартингальных мер изоморфен многообразию $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, вложенному в R ; сначала рассмотрим ситуацию, когда у нас нет активов и $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$изоморфен R.

. Теперь рассмотрим каждый из базовых активов как обеспечивающий ограничение на набор эквивалентных показателей, поскольку его ожидаемый процесс дисконтирования должен быть постоянным (а именно его начальным значением). Добавляя по одному активу за раз, мы можем рассматривать каждое дополнительное ограничение как уменьшение размера $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$на одно измерение. Следовательно, мы можем видеть, что в общей ситуации, описанной выше, размерность набора эквивалентных показателей мартингала составляет $m\; -\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; mn\}$.

В модели Блэка-Шоулза у нас есть один актив и один объект Винера. процесс. Размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна нулю; следовательно, можно показать, что существует единственное значение для дрейфа и, следовательно, единственная нейтральная к риску мера, при которой дисконтированный актив $e\; -\; \rho \; t\; S\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; rho\; t\}\; S\_\; \{t\}\}$будет мартингейлом.

В модели Хестона у нас все еще есть один актив (волатильность не считается непосредственно наблюдаемой или предметом торговли на рынке), но теперь у нас есть два винеровских процесса - первый в стохастическом дифференциальном уравнении (SDE) для актива и второй в SDE для стохастической волатильности. Здесь размерность множества эквивалентных мартингальных мер равна единице; не существует единственной безрисковой меры.

Это, конечно, проблематично; хотя теоретически для определения цены производного инструмента можно использовать любую из безрисковых мер, вполне вероятно, что каждая из них будет давать разную цену. Теоретически, однако, только одна из этих безрисковых мер может быть совместима с рыночными ценами на опционы, зависящие от волатильности (например, европейские колл-опционы или, точнее, свопы на дисперсию ). Следовательно, мы могли бы добавить актив, зависящий от волатильности; тем самым мы добавляем дополнительное ограничение и, таким образом, выбираем единую безрисковую меру, совместимую с рынком. Эта мера может быть использована для ценообразования.

• Недавнее обсуждение реализации модели Хестона приведено в статье Кала и Якеля.

• Информация о том, как использовать преобразование Фурье для определения значений, приведена в статье Карра. и Мадан.

• Расширение модели Хестона со стохастическими процентными ставками дается в статье Грзелака и Остерли.

• Вывод цен опционов в закрытой форме для зависящей от времени модели Хестона представлен в статье Гобета и др.

• Вывод цен опционов в закрытой форме для двойной модели Хестона представлен в работах Кристофферсена

и Готье.

• Явное решение уравнения цены Хестона с точки зрения волатильности было разработано Курицыным, которое может быть объединено с известными слабыми решениями уравнения волатильности и теоремой Гирсанова для получения явных слабых решений модели Хестона. Такие решения полезны для эффективного моделирования.

• Существует несколько известных параметров параметризации поверхности волатильности на основе модели Хестона (Schonbusher, SVI и gSVI).
• Использование модели в контексте локальной стохастической волатильности является приведено в статье Ван Дер Вейста.

Калибровка модели Хестона часто формулируется как задача наименьших квадратов с целевой функцией минимизация разницы между ценами, наблюдаемыми на рынке, и ценами, рассчитанными по модели Хестона.

Цены обычно такие же, как и на ванильные варианты. Иногда модель также калибруется по временной структуре обмена дисперсией, как у Гийома и Схоутенса. Еще один подход - включить варианты прямого старта или барьерные варианты, чтобы уловить улыбку вперед.

Согласно модели Хестона, цена опционов ванили дается аналитически, но требует численного метода для вычисления интеграла. Ле Флок обобщает различные применяемые квадратуры и предлагает эффективную адаптивную квадратуру Филона.

Проблема калибровки связана с градиентом целевой функции по отношению к параметрам Хестона. Аппроксимация градиента методом конечных разностей имеет тенденцию создавать искусственные числовые проблемы при калибровке. Гораздо лучше полагаться на методы автоматического дифференцирования. Например, касательный режим алгоритмического дифференцирования может применяться с использованием двойных чисел простым способом. В качестве альтернативы Cui et al. дать явные формулы для аналитического градиента. Последнее было получено путем введения эквивалентной, но поддающейся обработке формы характеристической функции Хестона.

• Стохастическая волатильность
• Риск-нейтральный показатель (другое название эквивалентной меры мартингала)
• Теорема Гирсанова
• Мартингейл (теория вероятностей)
• Волатильность SABR Модель
• Код MATLAB для реализации Кал, Якель и Лорд

• Дамгани, Бабак Махдави; Кос, Эндрю (2013). «Деарбитраж со слабой улыбкой: применение для искажения риска».. 2013 (1): 40–49. doi :10.1002/wilm.10201.

.