Войти
диаграмма Хассе набора P из делители числа 60, частично упорядоченные соотношением «x делит y». Красное подмножество S = {1,2,3,4} имеет два максимальных элемента, а именно. 3 и 4, и один минимальный элемент, а именно. 1, который также является его наименьшим элементом. В математике, особенно в теории порядка, наибольший элемент подмножества S из частично упорядоченный набор (poset) является элементом S, который больше, чем любой другой элемент S. Термин наименьший элемент определяется двойственно, то есть это элемент S, который меньше любого другого элемента S.
На всем протяжении, пусть (P, ≤) будет частично упорядоченный набор и пусть S ⊆ P.
Определение : элемент g подмножества S из P называется наибольшим элементом S, если он удовлетворяетЕсли S имеет наибольший элемент, то он обязательно уникален, поэтому мы можем говорить о наибольшем элементе S .
Используя ≥ вместо o f ≤ в приведенном выше определении один определяет наименьший элемент S.
Наибольший элемент частично упорядоченного подмножества не должен следует путать с максимальными элементами набора, которые являются элементами, которые не меньше любого другого элемента в наборе. В наборе может быть несколько максимальных элементов, но не самый большой. Подобно верхним границам и максимальным элементам, самые большие элементы могут не существовать.
Определения :In В частном случае, когда P = S, определение «u - верхняя граница S в S» принимает следующий вид: u - такой элемент, что u ∈ S и s ≤ u для всех s ∈ S, что полностью идентично к определению наибольшего элемента, данному ранее. Таким образом, g является наибольшим элементом S тогда и только тогда, когда g является верхней границей S в S.
Если u является верхней границей S в P, которая не является верхней границей S в S (что может произойти тогда и только тогда, когда u ∉ S), тогда u не может быть наибольшим элементом S (однако возможно, что какой-то другой элемент является наибольшим элементом S). В частности, возможно, что S одновременно не имеет наибольшего элемента и существует некоторая верхняя граница S в P.
Даже если набор имеет некоторые верхние границы, он не обязательно должен иметь наибольший элемент, как показано на примере отрицательных вещественных чисел. Этот пример также демонстрирует, что наличие наименьшей верхней границы (в данном случае числа 0) также не означает существования наибольшего элемента.
В полностью упорядоченном множестве максимальный элемент и самый большой элемент совпадают; и его также называют максимум ; в случае значений функции он также называется абсолютным максимумом, чтобы избежать путаницы с локальным максимумом. Двойные термины: минимум и абсолютный минимум . Вместе они называются абсолютными экстремумами.
Аналогичные выводы справедливы для наименьших элементов.
На всем протяжении пусть (P, ≤) будет частично упорядоченным множеством и пусть S ⊆ P.
наименьший и наибольший элементы всего частично упорядоченного множества играют особую роль и также называются bottom и top или zero (0) и unit (1) или ⊥ и ⊤ соответственно. Если оба существуют, то называется ограниченным множеством . Обозначение 0 и 1 используется предпочтительно, когда poset представляет собой даже дополненную решетку, и когда нет вероятности путаницы, т.е. когда речь не идет о частичных порядках чисел, которые уже содержат элементы 0 и 1, разные снизу и сверху. Существование наименьшего и наибольшего элементов - это особое свойство полноты частичного порядка.
Дополнительную вводную информацию можно найти в статье Теория порядка.
Диаграмма Хассе примера 2 