Глоссарий Principia Mathematica

редактировать

Глоссарий Википедии

Это список обозначений, используемых в Альфред Норт Уайтхед и Бертрана Рассела Principia Mathematica (1910–13).

Второе (но не первое) издание тома I имеет список используемых обозначений в конце.

Содержание

1 Глоссарий
2 Символы, представленные в Principia Mathematica, Том I
3 Символы, представленные в Principia Mathematica, Том II
4 Символы, представленные в Principia Mathematica, Том III
5 См. также
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Глоссарий

Это глоссарий некоторых технических терминов в Principia Mathematica, которые больше не используются широко или значение которых изменилось.

кажущаяся переменная

связанная переменная

атомарное суждение

Утверждение формы R (x, y,...), где R - отношение.

Барбара

Мнемоника для определенный силлогизм.

класс

Подмножество членов некоторого типа

codomain

codomain отношения R - это класс y, такой что xRy для некоторого x.

compact

Отношение R называется компактным, если всякий раз, когда xRz существует ay с xRy и yRz

согласованным

Набор действительных чисел называется согласованным, если все ненулевые члены имеют один и тот же знак

соединены

связность

Отношение R называется связным, если для любых двух различных членов x, y либо xRy, либо yRx.

непрерывный

Непрерывный ряд - это полное полностью упорядоченное множество, изоморфное действительным числам. * 275

коррелятор

биекция

пара

1. Кардинальная пара - это класс, состоящий ровно из двух элементов

2. Порядковая пара - это упорядоченная пара (рассматриваемая в PM как особый вид отношения)

Дедекиндиан

полное (отношение) * 214

определение

Определяемый символ

определение

значение чего-то определяемого

производная

Производная подкласса серии - это класс пределов непустых подклассов

описание

Определение чего-либо как уникального объекта с данным свойством

описательная функция

Функция, принимающая значения, которые не обязательно должны быть значениями истинности, другими словами то, что не называется просто функцией.

разнообразие

Отношение неравенства

область

Область определения отношение R - это класс x, такой что xRy для некоторого y.

элементарное предложение

Предложение, построенное из атомарных предложений с использованием «или» и «не», но без связанных переменных

Эпименид

Эпименид был легендарным критским философом

существующей

непустой

экстенсиональной функцией

Функция, значение которой не изменяется, если один из ее аргументов s заменяется на что-то эквивалентное.

field

Поле отношения R представляет собой объединение его домена и кодомена

первого порядка

Предложение первого порядка может иметь количественную оценку по отдельным лицам, но не над вещами более высокого типа.

функция

Это часто означает пропозициональную функцию, другими словами функцию, принимающую значения «истина» или «ложь». Если она принимает другие значения, она называется «описательной функцией». PM позволяет двум функциям быть разными, даже если они принимают одинаковые значения для всех аргументов.

общее предложение

Предложение, содержащее кванторы

обобщение

Количественное определение по некоторым переменным

однородное

отношение называется однородным, если все аргументы имеют один и тот же тип.

индивидуальный

элемент самого низшего рассматриваемого типа

индуктивный

Конечный в том смысле, что кардинал является индуктивным, если он может быть получен многократно добавление 1 к 0. * 120

содержательная функция

Неэкстенсиональная функция.

логическая

1. логическая сумма двух предложений - это их логическая дизъюнкция

2. логическим произведением двух предложений является их логическое соединение

матрица

Функция без связанных переменных. * 12

median

Класс называется медианным для отношения, если некоторый элемент класса лежит строго между любыми двумя терминами. * 271

член

элемент (класса)

молекулярное суждение

Предложение, построенное из двух или более атомарных суждений с использованием «или» и «не»; другими словами, элементарное утверждение, которое не является атомарным.

нулевой класс

Класс, не содержащий членов

предикативный

Век научных дискуссий не пришел к определенному консенсусу относительно того, что именно это означает, и Principia Mathematica дает несколько разных объяснений, которые нелегко согласовать. См. Введение и * 12. * 12 говорит, что предикативная функция - это функция без очевидных (связанных) переменных, другими словами, матрица.

примитивное утверждение

Предложение, принятое без доказательства

прогрессия

Последовательность (индексированная натуральными числами)

рациональный

Рациональный ряд - это упорядоченное множество, изоморфное рациональным числам

вещественная переменная

свободная переменная

референт

Член x в xRy

рефлексивный

бесконечный в том смысле, что класс находится во взаимно однозначном соответствии с собственным подмножеством (* 124)

отношение

Пропозициональная функция некоторых переменных (обычно двух). Это похоже на текущее значение термина «отношение».

относительный продукт

Относительный продукт двух отношений - это их композиция

relatum

Термин y в xRy

scope

scope выражения является частью предложения, в котором выражение имеет заданное значение (глава III)

Скотт

Сэр Вальтер Скотт, автор Waverley.

второго порядка

A Функция второго порядка - это функция, которая может иметь аргументы первого порядка

раздел

Раздел общего порядка - это подкласс, содержащий всех предшественников его членов.

сегмент

подкласс полностью упорядоченного набора, состоящего из всех предшественников членов некоторого класса

выбор

Функция выбора: то, что выбирает по одному элементу из каждого набора классов.

секвенция

Секвенция класса α в полностью Упорядоченный класс - это минимальный элемент класса терминов, следующих за всеми членами α. (* 206)

последовательная связь

A общий порядок в классе

значимый

четко определенный или значимый

аналогичный

той же мощности

протяженность

Выпуклый подкласс упорядоченного класса

штрих

штрих Шеффера (используется только во втором издании PM)

тип

Как в теории типов. Все объекты принадлежат к одному из нескольких непересекающихся типов.

обычно

Относится к типам; например, «обычно неоднозначный» означает «неоднозначный тип».

unit

Класс модуля - это тот, который содержит ровно один элемент

универсальный

Универсальный класс - это класс, содержащий все члены некоторого типа

вектор

1. По сути, инъективная функция от класса к самому себе (например, вектор в векторном пространстве, действующий на аффинное пространство)

2. Векторное семейство - это непустое коммутирующее семейство инъективных функций от некоторого класса к самому себе (VIB)

Символы, представленные в Principia Mathematica, Volume I

Symbol	Приближенное значение	Ссылка
✸	Указывает, что следующий номер относится к некоторому предложению
α, β, γ, δ, λ, κ, μ	Классы	Глава I стр. 5
f, g, θ, φ, χ, ψ	Функции переменных (хотя θ позже переопределяется как тип порядка для вещественных чисел)	Глава I стр. 5
a, b, c, w, x, y, z	Переменные	Глава I стр. 5
p, q, r	Предложения переменных (хотя значение p изменяется после раздела 40).	Глава I стр. 5
P, Q, R, S, T, U	Отношения	Глава I стр. 5
. ::. ::	Точки используются для обозначения того, как выражения должны быть заключены в квадратные скобки, а также используются для логического «и».	Глава I, стр. 10
$x ^ {\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat {x}}$	Указывает (примерно), что x - это связанная переменная, используемая для определения функции. Также может означать (примерно) «набор x таких, что...».	Глава I, страница 15
!	Указывает, что предшествующая ей функция имеет первый порядок	Глава II.V
⊦	Утверждение: верно, что	* 1 (3)
~	Не	* 1 (5)
∨	Или	* 1 (6)
⊃	(модификация символа Пеано Ɔ.) Подразумевает	* 1.01
=	Равенство	* 1.01
Df	Определение	* 1.01
Pp	Примитивное утверждение	* 1.1
Дем.	Сокращение от «Демонстрация»	* 2.01
.	Логический и	* 3.01
p⊃q⊃r	p⊃q и q⊃r	* 3.02
≡	Эквивалентно	* 4.01
p≡q≡r	p≡q и q≡r	* 4.02
Hp	Сокращение от «Гипотеза»	* 5.71
(x)	Для всех x Это также может использоваться с несколькими переменными как в 11.01.	* 9
(∃x)	Существует x такой, что. Это также может использоваться с несколькими переменными, как в 11.03.	* 9, * 10.01
≡x, ⊃ x	Нижний индекс x является аббревиатурой, означающей, что эквивалентность или импликация сохраняется для всех x. Это также может использоваться с несколькими переменными.	* 10.02, * 10.03, * 11.05.
=	x = y означает, что x идентичен y в том смысле, что они имеют одинаковые свойства	* 13.01
≠	Не идентичны	* 13.02
x = y = z	x = y и y = z	* 13.3
℩	Это перевернутая йота (юникод U + 2129). ℩x примерно означает «уникальный x такой, что....»	* 14
	Индикатор области для определенных описаний.	* 14.01
E!	Существует уникальный...	* 14.02
ε	Греческий эпсилон, сокращающий греческое слово ἐστί, означающее «есть». Он используется для обозначения «является членом» или «является»	* 20.02 и Глава I стр. 26
Cls	Сокращение от «Класс». 2-класс всех классов	* 20.03
,	Сокращение, используемое, когда несколько переменных имеют одно и то же свойство	* 20.04, * 20.05
~ ε	Is не является членом	* 20.06
Prop	Сокращение от «Proposition» (обычно предложение, которое пытаются доказать).	Примечание перед * 2.17
Rel	Класс отношений	* 21.03
⊂ ⪽	Является подмножеством (с точка для отношений)	* 22.01, * 23.01
∩ ⩀	Пересечение (с точкой для отношений). α∩β∩γ определяется как (α∩β) ∩γ и так далее.	* 22.02, * 22.53, * 23.02, * 23.53
∪ ⨄	Объединение (с точкой для отношений) α∪β∪γ определяется как (α∪β) ∪γ и так далее.	22.03, * 22.71, * 23.03, * 23.71
- ∸	Дополнение класса или различие двух классов (с точкой для отношений)	* 22.04, * 22.05, * 23.04, * 23.05
V ⩒	Универсальный класс (с точкой для отношений)	* 24.01
Λ ⩑	Нулевой или пустой класс (с точкой для отношений)	24.02
∃!	Следующий класс непустой	* 24.03
‘	R 'y означает уникальный x такой, что xRy	* 30.01
Cnv	Сокращение от разговора. Обратное отношение между отношениями	* 31.01
Ř	Обратное отношение R	* 31.02
$R → {\ displaystyle {\ overrightarrow {R}}}$ $\ overrightarrow {R}$	A отношение такое, что $x R → z {\ displaystyle x {\ overrightarrow {R}} z}$ $x \ overrightarrow {R} z$ , если x - это множество всех y таких, что $y R → z {\ displaystyle y {\ overrightarrow {R}} z}$ $y \ overrightarrow {R} z$	* 32.01
$R ← {\ displaystyle {\ overleftarrow {R}}}$ $\ overleftarrow {R}$	Аналогично $R → {\ displaystyle {\ overrightarrow {R}} }$ $\ overrightarrow {R}$ с перевернутыми левым и правым аргументами	* 32.02
sg	Сокращение от «sagitta» (латынь для стрелки). Связь между $R → {\ displaystyle {\ overrightarrow {R}}}$ $\ overrightarrow {R}$ и R.	* 32.03
gs	Реверс sg. Отношение между $R ← {\ displaystyle {\ overleftarrow {R}}}$ $\ overleftarrow {R}$ и R.	32.04
D	Домен отношения (αDR означает, что α является областью Р).	* 33.01
D	(Перевернутая D) Кодомен отношения	* 33.02
C	(Начальная буква слова «кампус», латинское слово «поле».) Поле отношения, объединение его домена и кодомена	* 32.03
F	Отношение, указывающее, что что-то находится в поле отношения	* 32.04
$\| {\ displaystyle \|}$ $\|$	Композиция двух отношений. Также используется для штриха Шеффера в * 8 приложении А второго издания.	* 34.01
R, R	R представляет собой композицию R с самим собой n раз.	* 34.02, * 34.03
$↿ {\ displaystyle \ upharpoonleft}$ $\ upharpoonleft$	$α ↿ R {\ displaystyle \ alpha \ upharpoonleft R}$ $\ alpha \ upharpoonleft R$ - отношение R с ограниченным доменом к α	* 35.01
$↾ {\ displaystyle \ upharpoonright}$ $\ upharpoonright$	$R ↾ α {\ displaystyle R \ upharpoonright \ alpha}$ $R \ upharpoonright \ alpha$ - это отношение R с его кодоменом, ограниченным α	* 35.02
$↑ {\ displaystyle \ uparrow}$ $\ uparrow$	Примерно произведение двух наборов, или, скорее, соответствующее отношение	* 35.04
⥏	P⥏α означает $α ↿ п ↾ α {\ displaystyle \ alpha \ upharpoonleft P \ upharpoonright \ alpha}$ $\ alpha \ upharpoonleft P \ upharpoonright \ alpha$ . Это символ юникода U + 294F	* 36.01
“	(двойные открытые кавычки.) R «α - область отношения R, ограниченная классом α	* 37.01
Rε	αRεβ означает «α - область R, ограниченная β»	* 37.02
'' '	(Тройные кавычки.) αR' '' κ означает, что «α является область R ограничена некоторым элементом κ "	* 37.04
E !!	Примерно означает, что отношение является функцией, если оно ограничено определенным классом	* 37,05
♀	Общий символ, обозначающий любой функциональный знак или отношение	* 38
”	Двойные закрывающие кавычки, помещенные под функцией двух переменных, изменяют ее на связанную с классом функцию.	* 38.03
p	Пересечение классов в классе. (Значение p здесь меняется: до раздела 40 p является пропозициональной переменной.)	* 40.01
s	Объединение классов в классе	* 40.02
$\| \| {\ displaystyle \|\|}$ $\|\|$	$R \| \| S {\ displaystyle R \|\| S}$ $R\|\|S$ применяет R слева и S справа от отношения	* 43.01
I	Отношение равенства	* 50.01
J	Отношение неравенства	* 50.02
ι	Греческая йота. Принимает класс x в класс, единственным элементом которого является x.	* 51.01
1	Класс классов с одним элементом	* 52.01
0	Класс, единственным элементом которого является пустой класс. С нижним индексом r это класс, содержащий пустое отношение.	* 54.01, * 56.03
2	Класс классов с двумя элементами. Точка над ним обозначает класс упорядоченных пар. С индексом r это класс неравных упорядоченных пар.	* 54.02, * 56.01, * 56.02
$↓ {\ displaystyle \ downarrow}$ $\ downarrow$	Упорядоченная пара	* 55.01
Cl	Сокращение от "класс". Отношение powerset	* 60.01
Cl ex	Отношение, говорящее, что один класс является набором непустых классов другого	* 60.02
Cls, Cls	Класс классов и класс классов классов	* 60.03, * 60.04
Rl	То же, что и Cl, но для отношений, а не классы	* 61.01, * 61.02, * 61.03, * 61.04
ε	Отношение принадлежности	* 62.01
t	Тип чего-либо, другими словами, самый большой класс, содержащий это. t также может иметь дополнительные нижние и верхние индексы.	* 63.01, * 64
t0	Тип элементов чего-то	* 63.02
αx	элементов α того же типа, что и x	* 65.01 * 65.03
α (x)	Элементы α с типом типа x.	* 65.02 * 65.04
→	α → β - это класс отношений, в которых область значений любого элемента находится в α, а область значений находится в β.	* 70.01
sm	Сокращение от «похожего». Класс взаимного соответствия между двумя классами	* 73.01
sm	Сходство: отношение, согласно которому два класса имеют взаимное соответствие между собой	* 73.02
PΔ	λPΔκ означает что λ - функция выбора для P, ограниченная κ	* 80.01
excl	Относится к различным классам, которые не пересекаются	* 84
↧	P↧x is подотношение P упорядоченных пар в P, второй член которого равен x.	* 85.5
Rel Mult	Класс умножаемых отношений	* 88.01
Cls Mult	Умножаемые классы классов	* 88.02
Mult ax	Мультипликативная аксиома, форма аксиомы выбора	* 88.03
R*	Транзитивное замыкание отношения R	* 90.01
Rst, R ts	Отношения, в которых говорится, что одно отношение является положительной степенью R, умноженной на другое	* 91.01, * 91.02
Pot	(Сокращение от Латинское слово «потенция» означает власть.) Положительные силы отношения	* 91.03
Потид	(«Горшок» для «потенции» + «id» для «идентичности».) Положительные или нулевые степени отношения	* 91.04
Rpo	Объединение положительных степеней отношения R	* 91.05
B	означает «Начало». Что-то находится в домене, но не в диапазоне отношения	* 93.01
min, max	используется для обозначения того, что что-то является минимальным или максимальным элементом некоторого класса по отношению к некоторому отношение	* 93.02 * 93.021
gen	Генерации отношения	* 93.03
✸	P✸Q - это отношение, соответствующее операции применения P слева и Q справа от отношения. Это значение используется только в * 95, а в * 257 символ определяется иначе.	* 95.01
Dft	Временное определение (за которым следует раздел, в котором оно используется).	* 95 сноска
IR,JR	Определенные подмножества изображений элемента при многократном применении функции R. Используется только в * 96.	* 96.01, * 96.02
$R ↔ {\ displaystyle {\ overleftrightarrow {R}}}$ $\ overleftrightarrow {R}$	Класс предков и потомков элемента в отношении R	* 97.01

Символы, представленные в Principia Mathematica, Volume II

Symbol	Примерное значение	Ссылка
Nc	Кардинальное число класса	* 100.01, * 103.01
NC	Класс кардинальных чисел	* 100.02, * 102.01, * 103.02, * 104.02
μ	Для кардинала μ это тот же кардинал в следующем более высоком типе.	* 104.03
μ(1)	Для кардинала μ это тот же кардинал в следующем более низком типе.	* 105.03
+	Непересекающееся объединение двух классов	* 110.01
+c	Сумма двух кардиналов	* 110.02
Crp	Сокращенно от «переписка».	* 110.02
ς	(Греческая сигма, используемая в конце слова.) Ряд сегментов ряда; по существу завершение полностью упорядоченного набора	* 212.01

Символы, представленные в Principia Mathematica, Том III

Символ	Приблизительное значение	Ссылка
Граница	Сокращение от «bene ordinata» (лат. «Упорядоченные»), класс обоснованных отношений	* 250.01
Ω	Класс хорошо упорядоченных отношений	250.02

См. Также

Глоссарий теории множеств

Примечания

Ссылки

Уайтхед, Альфред Норт и Бертран Рассел. Principia Mathematica, 3 тома, Cambridge University Press, 1910, 1912 и 1913. Второе издание, 1925 (том 1), 1927 (тома 2, 3).

Внешние ссылки

Список обозначений в Principia Mathematica в конце тома I
"The Notation in Principia Mathematica "Бернарда Лински.
Principia Mathematica онлайн (Сборник исторической математики Мичиганского университета):
Предложение ✸54.43 в более современной нотации (Metamath )