Геометрическая деформация и изгиб материала

Когда деление ядра происходит внутри ядерного реактора, вырабатываются нейтроны. Эти нейтроны затем, проще говоря, либо вступают в реакцию с топливом в реакторе, либо выходят из него. Эти два процесса называются поглощением нейтронов и, а их сумма равна. Когда скорость образования нейтронов равна скорости потери нейтронов, реактор способен выдерживать цепную реакцию ядерного деления и считается критическим реактором.

Геометрическая потеря устойчивости - это мера утечки нейтронов и деформация материала - мера разницы между образованием нейтронов и поглощением нейтронов. В случае чистого однородного стационарного реактора (то есть реактора, который имеет только одну зону, гомогенную смесь топлива и теплоносителя, без бланкета или отражателя, и не изменяется с течением времени) геометрическая деформация и деформация материала равны между собой.

• 1 Вывод
• 2 Геометрическая потеря устойчивости
• 3 Устойчивость материала
• 4 Критические размеры реактора
• 5 Ссылки

Оба условия потери устойчивости получены из конкретное уравнение диффузии, которое справедливо для нейтронов:

$-\; D\; \nabla \; 2\; \Phi \; +\; \Sigma \; a\; \Phi \; =\; 1\; k\; \nu \; \Sigma \; f\; \Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; -D\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\; +\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{a\}\; \backslash \; Phi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}\}\; \backslash \; nu\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\; \backslash \; Phi\}$.

где k - критичность собственное значение, $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$- нейтронов на деление, $\Sigma \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\}$- макроскопический крест раздел для деления и из теории диффузии, коэффициент диффузии определяется как:

$D\; =\; 1\; 3\; \Sigma \; tr\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{tr\}\}\}\}\}$.

Кроме того, определяется как:

$L\; =\; D\; \Sigma \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; \backslash \; frac\; \{D\}\; \{\backslash \; Sigma\; \_\; \{a\}\}\}\}\}$.

Переставляя члены, уравнение диффузии принимает следующий вид:

$-\; \nabla \; 2\; \Phi \; \Phi \; =\; k\; \infty \; k\; -\; 1\; L\; 2\; =\; B\; g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; fra\; c\; \{\backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; Phi\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{k\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\; \{k\}\}\; -\; 1\}\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{B\_\; \{\; g\}\}\; ^\; \{2\}\}$.

Левая часть - это потеря устойчивости материала, а правая часть уравнения - геометрическая потеря устойчивости.

Геометрическая потеря устойчивости - это простая задача на собственные значения Гельмгольца, которая просто решается для различных геометрий. В таблице ниже перечислены геометрические потери устойчивости для некоторых распространенных геометрий.

Геометрия	Геометрическая устойчивость B g
Сфера радиуса R	$(\pi \; R)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{R\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; 2\}\}$
Цилиндр высотой H и радиусом R	$(\pi \; H)\; 2\; +\; (2,405\; R)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{H\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; \}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2.405\}\; \{R\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$
Параллелепипед с длинами сторон a, b и c	$(\pi \; a)\; 2\; +\; (\pi \; b)\; 2\; +\; (\pi \; с)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{b\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; \}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

Поскольку вычисления теории диффузии дают завышение, необходимо вычесть δ, чтобы получить оценку фактических значений. Изгиб также можно рассчитать с использованием фактических размеров и экстраполированных расстояний, используя следующую таблицу.

Выражения для геометрической потери устойчивости в терминах фактических размеров и экстраполированных расстояний.

Геометрия	Геометрическая потеря устойчивости B g
Сфера радиуса R	$(\pi \; R\; +\; \delta )\; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{R\; +\; \backslash \; delta\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$
Цилиндр высотой H и радиусом R	$(\pi \; H\; +\; 2\; \delta )\; 2\; +\; (2.405\; R\; +\; \delta )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{H\; +\; 2\; \backslash \; delta\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2.405\}\; \{R\; +\; \backslash \; delta\}\}\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\}$
Параллелепипед с длинами сторон a, b и c	$(\pi \; a\; +\; 2\; \delta )\; 2\; +\; (\pi \; b\; +\; 2\; \delta )\; 2\; +\; (\pi \; c\; +\; 2\; \delta )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{a\; +\; 2\; \backslash \; delta\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{b\; +\; 2\; \backslash \; delta\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; 2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{c\; +\; 2\; \backslash \; delta\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

Изгиб материала - это изгиб однородная конфигурация только в отношении свойств материала. Если мы переопределим $k\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$с точки зрения чисто материальных свойств (и предположим, что основной режим), мы имеем:

$k\; \infty \; =\; \nu \; \Sigma \; f\; \Sigma \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\}\; \{\backslash \; Sigma\; \_\; \{a\}\}\}\}$.

Как указывалось ранее, геометрическая потеря устойчивости определяется как:

$В\; г\; 2\; знак\; равно\; К\; \infty \; К\; -\; 1\; L\; 2\; знак\; равно\; 1\; К\; \nu \; \Sigma \; е\; -\; \Sigma \; a\; D\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{B\_\; \{g\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{k\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\; \{\; k\}\}\; -\; 1\}\; \{L\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\}\}\; \backslash \; nu\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\; -\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{a\}\}\; \{D\}\}\}$.

Решение относительно k (в основном режиме),

$k\; =\; keff\; =\; \nu \; \Sigma \; f\; \Sigma \; a\; +\; DB\; g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{eff\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\}\; \{\backslash \; Sigma\; \_\; \{a\}\; +\; D\; \{B\_\; \{g\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}$;

таким образом,

$k\; =\; \nu \; \Sigma \; f\; \Sigma \; a\; 1\; +\; L\; 2\; B\; g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\}\; \{\backslash \; Sigma\; \_\; \{a\}\}\}\; \{1\; +\; L\; ^\; \{2\}\; \{B\_\; \{g\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \}$.

Предполагая, что реактор находится в критическом состоянии (k = 1),

$B\; g\; 2\; =\; \nu \; \Sigma \; f\; -\; \Sigma \; a\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \{B\_\; \{g\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; nu\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\; -\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{a\}\}\; \{D\}\}\}$.

Это выражение относится к чисто материальным свойствам; следовательно, это называется короблением материалов:

$B\; m\; 2\; =\; \nu \; \Sigma \; f\; -\; \Sigma \; a\; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \{B\_\; \{m\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{f\}\; -\; \backslash \; Sigma\; \_\; \{a\}\}\; \{D\}\}\}$.

Приравняв геометрическое и материальное продольное изгибание, можно определить критические размеры однозонального ядерного реактора.