Гауссовские полярные координаты

редактировать

В теории лоренцевых многообразий сферически-симметричное пространство-время допускает семейство вложенных круглых сфер. В каждой из этих сфер каждая точка может быть перенесена в любую другую соответствующим поворотом вокруг центра симметрии.

Существует несколько различных типов координатной диаграммы, адаптированных к этому семейству вложенных сфер, каждый из которых вносит свой вид искажения. Самая известная альтернатива - диаграмма Шварцшильда, которая правильно представляет расстояния внутри каждой сферы, но (в целом) искажает радиальные расстояния и углы. Другой популярный выбор - это изотропная диаграмма, которая правильно представляет углы (но в целом искажает как радиальные, так и поперечные расстояния). Третий вариант - это полярная диаграмма Гаусса, которая правильно представляет радиальные расстояния, но искажает поперечные расстояния и углы. Есть и другие возможные графики; статья о сферически-симметричном пространстве-времени описывает систему координат с интуитивно привлекательными функциями для изучения падающей материи. Во всех случаях вложенные геометрические сферы представлены координатными сферами, поэтому можно сказать, что их округлость представлена правильно.

Определение

В полярной диаграмме Гаусса (в статическом сферически-симметричном пространстве-времени) метрика (также известная как элемент строки ) принимает форму

g знак равно - a (r) 2 dt 2 + dr 2 + b (r) 2 (d θ 2 + sin ⁡ (θ) 2 d ϕ 2), {\ displaystyle g = -a (r) ^ {2 } \, dt ^ {2} + dr ^ {2} + b (r) ^ {2} \, \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin (\ theta) ^ {2} \, d \ phi ^ {2} \ right),}

{\ displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + dr ^ {2} + b (r) ^ {2} \, \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin (\ theta) ^ {2} \, d \ phi ^ {2} \ right),}

- ∞ < t < ∞, r 0 < r < r 1, 0 < θ < π, − π < ϕ < π {\displaystyle -\infty

- \ infty <t <\ infty, \, r_0 <r <r_1, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi

В зависимости от контекста, может быть целесообразно рассматривать $ab {\ displaystyle a \, b}$ ${\ displaystyle a \, b}$ как неопределенные функции радиальная координата $r {\ displaystyle r}$ $r$ . В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить изотропную координатную карту в конкретном лоренцевом пространстве-времени.

Приложения

Гауссовы диаграммы часто менее удобны, чем диаграммы Шварцшильда или изотропные диаграммы. Однако время от времени они находили применение в теории статических сферически-симметричных совершенных жидкостей.

См. Также

Статическое пространство-время
Статические сферически-симметричные идеальные жидкости
Координаты Шварцшильда
Изотропные координаты
Поля кадра в общей теории относительности для получения дополнительной информации о полях кадра и полях кофрейма.