Обозначение с косой чертой Фейнмана

редактировать

При изучении полей Дирака в квантовой теории поля, Ричард Фейнман изобрел удобная косая черта Фейнмана (меньше широко известное как дираковское обозначение косой черты ). Если A является ковариантным вектором (т. Е. 1-формой ),

A / = def γ μ A μ {\ displaystyle {A \! \! \! / } \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ gamma ^ {\ mu} A _ {\ mu}}

{\ displaystyle {A \! \! \! /} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ gamma ^ {\ mu} A _ {\ mu}}

с использованием нотации суммирования Эйнштейна, где γ - гамма-матрицы.

Содержание

1 Тождества
2 С четырьмя импульсами
3 См. также
4 Ссылки

Тождества

Использование антикоммутаторов гамма-матриц можно показать, что для любых $a μ {\ displaystyle a _ {\ mu}}$ $a_ \ mu$ и $b μ {\ displaystyle b _ {\ mu}}$ $b_ \ mu$ ,

a / a / ≡ a μ a μ ⋅ I 4 знак равно a 2 ⋅ I 4 a / b / + b / a / ≡ 2 a ⋅ b ⋅ I 4 {\ displaystyle {\ begin {align} {a \! \! \ ! /} {a \! \! \! /} \ Equiv a ^ {\ mu} a _ {\ mu} \ cdot I_ {4} = a ^ {2} \ cdot I_ {4} \\ {a \ ! \! \! /} {b \! \! \! /} + {b \! \! \! /} {a \! \! \! /} \ эквив 2a \ cdot b \ cdot I_ {4 } \, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {a \! \! \ ! /} {а \! \! \! /} \ Equ a ^ {\ mu} a _ {\ mu} \ cdot I_ {4} = a ^ {2} \ cdot I_ {4} \\ {a \! \! \! /} {b \! \! \! / } + {b \! \! \! /} {a \! \! \! /} \ Equiv 2a \ cdot b \ cdot I_ {4} \, \ end {align}}}

где $I 4 {\ displaystyle I_ {4}}$ $I_ {4}$ - это единичная матрица в четырех измерениях.

В частности,

∂ / 2 ≡ ∂ 2 ⋅ I 4. {\ displaystyle {\ partial \! \! \! /} ^ {2} \ Equiv \ partial ^ {2} \ cdot I_ {4}.}

{\ displaystyle {\ partial \! \! \! /} ^ {2} \ Equiv \ partial ^ {2} \ cdot I_ {4}.}

Дальнейшие идентификаторы можно считать непосредственно из гаммы матричные тождества путем замены метрического тензора на внутренние произведения. Например,

tr ⁡ (a / b /) ≡ 4 a ⋅ b tr ⁡ (a / b / c / d /) ≡ 4 [(a ⋅ b) (c ⋅ d) - (a ⋅ c) (b ⋅ d) + (a ⋅ d) (b ⋅ c)] tr ⁡ (γ 5 a / b / c / d /) ≡ 4 i ϵ μ ν λ σ a μ b ν c λ d σ γ μ a / γ μ ≡ - 2 a / γ μ a / b / γ μ ≡ 4 a ⋅ b ⋅ I 4 γ μ a / b / c / γ μ ≡ - 2 c / b / a / {\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ operatorname {tr} ({a \! \! \! /} {b \! \! \! /}) \ Equiv 4a \ cdot b \\\ operatorname {tr} ({a \! \! \! /} {b \! \! \! /} {c \! \! \! /} {d \! \! \! /}) \ эквив 4 \ left [(a \ cdot b) (c \ cdot d) - (a \ cdot c) (b \ cdot d) + (a \ cdot d) (b \ cdot c) \ right] \\\ имя оператора {tr} (\ gamma _ {5} {a \ ! \! \! /} {б \! \! \! /} {c \! \! \! /} {d \! \! \! /}) \ эквив 4i \ epsilon _ {\ mu \ nu \ lambda \ sigma} a ^ {\ mu} b ^ {\ nu} c ^ {\ lambda} d ^ {\ sigma} \\\ gamma _ {\ mu} {a \! \! \! /} \ gamma ^ {\ mu} \ Equiv -2 {a \! \! \! /} \\\ gamma _ {\ mu} {a \! \! \! /} {b \! \! \! /} \ гамма ^ {\ mu} \ эквив 4a \ cdot b \ cdot I_ {4} \\\ гамма _ {\ mu} {a \! \! \! /} {b \! \! \! /} {c \! \! \! /} \ gamma ^ {\ mu} \ Equiv -2 {c \! \! \! /} {б \! \! \! /} {а \! \! \! /} \\\ конец {выровнен}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {tr} ({a \! \! \! /} {b \! \! \! /}) \ Equiv 4a \ cdot b \\\ operatorname {tr} ({a \! \! \! /} {b \! \! \! /} {c \! \! \! /} {d \! \! \! /}) \ Equiv 4 \ left [( a \ cdot b) (c \ cdot d) - (a \ cdot c) (b \ cdot d) + (a \ cdot d) (b \ cdot c) \ right] \\\ имя оператора {tr} (\ gamma _ {5} {a \! \! \! /} {B \! \! \! /} {C \! \! \! /} {D \! \! \! /}) \ Equiv 4i \ эпсилон _ {\ mu \ nu \ lambda \ sigma} a ^ {\ mu} b ^ {\ nu} c ^ {\ lambda} d ^ {\ sigma} \\\ gamma _ {\ mu} {a \! \ ! \! /} \ gamma ^ {\ mu} \ Equiv -2 {a \! \! \! /} \\\ gamma _ {\ mu} {a \! \! \! /} {b \! \! \! /} \ gamma ^ {\ mu} \ Equiv 4a \ cdot b \ cdot I_ {4} \\\ gamma _ {\ mu} {a \! \! \! /} {b \! \ ! \! /} {c \! \! \! /} \ gamma ^ {\ mu} \ Equiv -2 {c \! \! \! /} {b \! \! \! /} {a \ ! \! \! /} \\\ конец {выровнено}}}

где

ϵ μ ν λ σ {\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu \ nu \ lambda \ sigma} \,}

\ epsilon _ {\ mu \ nu \ лямбда \ сигма} \,

- это символ Леви-Чивиты.

с четырьмя импульсами

Часто при использовании уравнения Дирака и решая для сечений, можно найти обозначение косой черты, используемое для четырехимпульса : используя базис Дирака для гамма-матриц,

γ 0 = (I 0 0 - I), γ я знак равно (0 σ я - σ я 0) {\ Displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I 0 \\ 0 -I \ end {pmatrix}}, \ quad \ gamma ^ { i} = {\ begin {pmatrix} 0 \ sigma ^ {i} \\ - \ sigma ^ {i} 0 \ end {pmatrix}} \,}

\ gamma ^ 0 = \ begin {pmatrix} I 0 \\ 0 -I \ end {pmatrix}, \ quad \ gamma ^ i = \ begin {pmatrix} 0 \ sigma ^ я \\ - \ sigma ^ i 0 \ end {pmatrix} \,

, а также определение четырехимпульса,

p μ = (E, - px, - py, - pz) {\ displaystyle p _ {\ mu} = \ left (E, -p_ {x}, - p_ {y}, - p_ {z} \ right) \,}

{\ displaystyle p _ {\ mu} = \ left (E, -p_ {x}, - p_ {y}, - p_ {z} \ right) \,}

мы явно видим, что

p / = γ μ p μ = γ 0 p 0 + γ ipi = [p 0 0 0 - p 0] + [0 σ ipi - σ ipi 0] = [ E - σ ⋅ p → σ ⋅ p → - E]. {\ displaystyle {\ begin {align} {p \! \! /} = \ gamma ^ {\ mu} p _ {\ mu} = \ gamma ^ {0} p_ {0} + \ gamma ^ {i} p_ {i} \\ = {\ begin {bmatrix} p_ {0} 0 \\ 0 -p_ {0} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 \ sigma ^ {i} p_ {i} \\ - \ sigma ^ {i} p_ {i} 0 \ end {bmatrix}} \\ = {\ begin {bmatrix} E - \ sigma \ cdot {\ vec {p}} \\\ sigma \ cdot { \ vec {p}} - E \ end {bmatrix}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {p \! \! /} = \ gamma ^ {\ mu} p_ { \ mu} = \ gamma ^ {0} p_ {0} + \ gamma ^ {i} p_ {i} \\ = {\ begin {bmatrix} p_ {0} 0 \\ 0 -p_ {0} \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0 \ sigma ^ {i} p_ {i} \\ - \ sigma ^ {i} p_ {i} 0 \ end {bmatrix}} \\ = {\ begin {bmatrix} E - \ sigma \ cdot {\ vec {p}} \\\ sigma \ cdot {\ vec {p}} - E \ end {bmatrix }}. \ end {align}}}

Подобные результаты имеют место и в других базах, таких как базис Вейля.

См. также

Ссылки