Верное представление

В математике, особенно в области абстрактной алгебры, известной как теория представлений, точное представление ρ группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$в векторном пространстве $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- это линейное представление, в котором разные элементы $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$из $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$представлены отдельными линейными отображениями $\rho \; (g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (g)\}$.

В более абстрактным языком, это означает, что гомоморфизм группы

$\rho :\; G\; \to \; GL\; (V)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho:\; G\; \backslash \; to\; GL\; (V)\}$

является инъективным ( или один к одному ).

Предупреждение: хотя представления $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$над полем $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$де-факто такие же, как $K\; [G]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [G]\}$-модули (где $K\; [G]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [G]\}$обозначает групповая алгебра группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$), точное представление $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$не обязательно является точный модуль для групповой алгебры. Фактически каждый верный $K\; [G]\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; [G]\}$-модуль является точным представлением $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, но обратное неверно. Рассмотрим, например, естественное представление симметричной группы $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{n\}\}$в $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$размеров на матрицы перестановок, что, безусловно, верно. Здесь порядок группы: $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$! в то время как матрицы $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$образуют векторное пространство размерности $n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{2\}\}$. Как только $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$равно по крайней мере 4, подсчет измерений означает, что между матрицами перестановок должна иметь место некоторая линейная зависимость (поскольку $24>16\; \{\backslash \; displaystyle\; 24>16\}$) ; это отношение означает, что модуль для групповой алгебры не точен.

Представление $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$конечной группы $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$над алгебраически замкнутым полем $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$нулевой характеристики является точным (как представление) тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$происходит как субпредставление $S\; n\; V\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\; V\}$($n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-я симметричная степень представления $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$) для достаточно высокого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Кроме того, $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$является верным (как представление) тогда и только тогда, когда каждое неприводимое представление $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$встречается как субпредставление

$V\; \otimes \; n\; =\; V\; \otimes \; V\; \otimes \; \cdots \; \otimes \; V\; ⏟\; n\; раз\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; ^\; \{\backslash \; otimes\; n\}\; =\; \backslash \; underbrace\; \{V\; \backslash \; otimes\; V\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; V\}\; \_\; \{n\; \{\backslash \; text\; \{times\}\}\}\}$

($n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-я тензорная степень представления $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$) для достаточно высокого $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$.

, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]