Приближения эффективной среды

редактировать

Приближения эффективной среды (EMA ) или Теория эффективной среды ( EMT ) относятся к аналитическому или теоретическому моделированию, которое описывает макроскопические свойства композитных материалов. EMA или EMT разрабатываются путем усреднения нескольких значений компонентов, которые непосредственно составляют композитный материал. На уровне компонентов значения материалов различаются и являются неоднородными. Точный расчет многих составляющих значений практически невозможен. Однако были разработаны теории, которые могут давать приемлемые приближения, которые, в свою очередь, описывают полезные параметры и свойства композитного материала в целом. В этом смысле приближения эффективной среды представляют собой описания среды (композитного материала), основанные на свойствах и относительных долях его компонентов, и получаются из расчетов.

Содержание

1 Приложения
2 Модель Брюггемана
- 2.1 Формулы
  - 2.1.1 Круглые и сферические включения
  - 2.1.2 Эллиптические и эллипсоидальные включения
- 2.2 Вывод
- 2.3 Моделирование перколяционных систем
3 Уравнение Максвелла Гарнетта
- 3.1 Формула
- 3.2 Вывод
- 3.3 Применимость
4 Теория эффективной среды для резисторных цепей
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Приложения

Существует множество различных приближений эффективной среды, каждое из которых более или менее точно в определенных условиях. Тем не менее, все они предполагают, что макроскопическая система является однородной, и, что типично для всех теорий среднего поля, они не могут предсказать свойства многофазной среды вблизи порога перколяции из-за отсутствия дальнодействующих корреляций. или критические колебания в теории.

Рассматриваемыми свойствами обычно являются проводимость $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ или диэлектрическая постоянная $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ носителя. Эти параметры взаимозаменяемы в формулах целого ряда моделей благодаря широкой применимости уравнения Лапласа. Проблемы, выходящие за рамки этого класса, в основном относятся к области упругости и гидродинамики из-за тензорного характера более высокого порядка констант эффективной среды.

EMA могут быть дискретными моделями, например, применимыми к цепям резисторов, или теориями континуума, применяемыми к упругости или вязкости. Однако большинство современных теорий затрудняют описание перколяционных систем. Действительно, из множества приближений эффективной среды только симметричная теория Брюггемана способна предсказать порог. Эта характерная черта последней теории помещает ее в ту же категорию, что и другие теории среднего поля критических явлений.

модель Брюггемана

Формулы

Без потери общности мы будем рассмотрим изучение эффективной проводимости (которая может быть как постоянного, так и переменного тока) для системы, состоящей из сферических многокомпонентных включений с различными произвольными проводимостью. Тогда формула Бруггемана принимает вид:

Круглые и сферические включения

$∑ i δ i σ i - σ e σ i + (n - 1) σ e = 0 (1) {\ displaystyle \ sum _ {i} \, \ delta _ {i} \, {\ frac {\ sigma _ {i} - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {i} + (n-1) \ sigma _ {e }}} \, = \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ( 1)}$ $\ sum_i \, \ delta_i \, \ frac {\ sigma_i - \ sigma_e} {\ sigma_i + (n-1) \ sigma_e} \, = \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (1)$

В системе евклидова пространственного измерения $n {\ displaystyle n}$ $n$ , которая имеет произвольное количество компонентов, сумма производится по всем составляющим. $δ i {\ displaystyle \ delta _ {i}}$ $\ delta _ {i}$ и $σ i {\ displaystyle \ sigma _ {i}}$ $\ sigma _ {i}$ - соответственно доля и проводимость каждого компонента, а $σ e {\ displaystyle \ sigma _ {e}}$ $\ sigma _ {e}$ - эффективная проводимость среды. (Сумма по $δ i {\ displaystyle \ delta _ {i}}$ $\ delta _ {i}$ 's равна единице.)

Эллиптические и эллипсоидальные включения

$1 n δ α + (1 - δ) (σ m - σ e) σ m + (n - 1) σ e знак равно 0 (2) {\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \, \ delta \ alpha + {\ frac {(1- \ delta) (\ sigma _ {m} - \ sigma _ {e})} {\ sigma _ {m} + (n-1) \ sigma _ {e}}} \, = \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2)}$ $\ frac {1} {n} \, \ delta \ alpha + \ гидроразрыв {(1- \ delta) (\ sigma_m - \ sigma_e)} {\ sigma_m + (n-1) \ sigma_e} \, = \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (2)$

Это обобщение уравнения. (1) в двухфазную систему с эллипсоидными включениями проводимости $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ в матрицу проводимости $σ m {\ displaystyle \ sigma _ {m}}$ $\ sigma _ {m}$ . Доля включений составляет $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , а система имеет размерность $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Для случайно ориентированных включений

$α = 1 n ∑ j = 1 n σ - σ e σ e + L j (σ - σ e) (3) {\ displaystyle \ alpha \, = \, {\ frac {1 } {n}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} \, {\ frac {\ sigma - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {e} + L_ {j} (\ sigma - \ sigma _ {e})}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (3)}$ $\ alpha \, = \, \ frac { 1} {n} \ sum_ {j = 1} ^ {n} \, \ frac {\ sigma - \ sigma_e} {\ sigma_e + L_j (\ sigma - \ sigma_e)} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (3)$

где $L j {\ displaystyle L_ {j}}$ $L_j$ обозначают соответствующий дублет / триплет факторов деполяризации, которые регулируются соотношениями между осями эллипса / эллипсоид. Например: в случае круга { $L 1 = 1/2 {\ displaystyle L_ {1} = 1/2}$ $L_1 = 1 / 2$ , $L 2 = 1/2 {\ displaystyle L_ {2} = 1 / 2}$ $L_2=1/2$ } и в случае сферы { $L 1 = 1/3 {\ displaystyle L_ {1} = 1/3}$ $L_1 = 1/3$ , $L 2 = 1/3 {\ displaystyle L_ {2} = 1/3}$ $L_2 = 1/3$ , $L 3 = 1/3 {\ displaystyle L_ {3} = 1/3}$ $L_3 = 1/3$ }. (Сумма по $L j {\ displaystyle L_ {j}}$ $L_j$ равна единице.)

Наиболее общий случай, к которому был применен подход Брюггемана, включает бианизотропную эллипсоидные включения.

Вывод

На рисунке показана двухкомпонентная среда. Рассмотрим заштрихованный объем проводимости $σ 1 {\ displaystyle \ sigma _ {1}}$ $\ сигма _ {1}$ , возьмите его как сферу объема $V {\ displaystyle V}$ $V$ и предположим, что он внедрен в однородную среду с эффективной проводимостью $σ e {\ displaystyle \ sigma _ {e}}$ $\ sigma _ {e}$ . Если электрическое поле вдали от включения составляет $E 0 ¯ {\ displaystyle {\ overline {E_ {0}}}}$ $\ overline {E_0}$ , то элементарные соображения приводят к дипольный момент, связанный с объемом

$p ¯ ∝ V σ 1 - σ e σ 1 + 2 σ e E 0 ¯ (4). {\ displaystyle {\ overline {p}} \, \ propto \, V \, {\ frac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {1} +2 \ sigma _ { e}}} \, {\ overline {E_ {0}}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (4) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,. }$ $\ overline {p} \, \ propto \, V \, \ frac {\ sigma_1 - \ sigma_e} {\ sigma_1 + 2 \ sigma_e} \, \ overline {E_0} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (4) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,.$

Эта поляризация вызывает отклонение от $E 0 ¯ {\ displaystyle {\ overline {E_ {0}}}}$ $\ overline {E_0}$ . Если среднее отклонение должно исчезнуть, полная поляризация, суммированная по двум типам включений, должна исчезнуть. Таким образом,

$δ 1 σ 1 - σ e σ 1 + 2 σ e + δ 2 σ 2 - σ e σ 2 + 2 σ e = 0 (5) {\ displaystyle \ delta _ {1} {\ frac {\ sigma _ {1} - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {1} +2 \ sigma _ {e}}} \, + \, \ delta _ {2} {\ frac {\ sigma _ {2 } - \ sigma _ {e}} {\ sigma _ {2} +2 \ sigma _ {e}}} \, = \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (5)}$ $\ delta_1 \ frac {\ sigma_1 - \ sigma_e} {\ sigma_1 + 2 \ sigma_e} \, + \, \ delta_2 \ frac {\ sigma_2 - \ sigma_e} {\ sigma_2 + 2 \ sigma_e} \, = \, 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (5)$

где $δ 1 {\ displaystyle \ delta _ {1}}$ $\ delta _ {1 }$ и $δ 2 {\ displaystyle \ delta _ {2}}$ $\ delta _ {2}$ - соответственно объемная доля материала 1 и 2. Это можно легко расширить до системы размерности $n {\ displaystyle n}$ $n$ , имеющий произвольное количество компонентов. Все случаи можно объединить, чтобы получить уравнение. (1).

Ур. (1) можно также получить, требуя, чтобы отклонение тока исчезло. Это было получено здесь из предположения, что включения являются сферическими, и это может быть изменено для форм с другими факторами деполяризации; приводя к формуле. (2).

Также доступен более общий вывод, применимый к бианизотропным материалам.

Моделирование перколяционных систем

Основное приближение состоит в том, что все домены расположены в эквивалентном среднем поле. К сожалению, это не тот случай, когда близко к порогу перколяции, когда система управляется наибольшим скоплением проводников, которое является фракталом, и дальнодействующими корреляциями, которые полностью отсутствуют в простой формуле Бруггемана. Пороговые значения обычно неверно предсказываются. Это 33% в EMA в трех измерениях, что далеко от 16%, ожидаемых по теории перколяции и наблюдаемых в экспериментах. Однако в двух измерениях EMA дает порог 50% и, как было доказано, относительно хорошо моделирует просачивание.

Уравнение Максвелла-Гарнетта

В приближении Максвелла-Гарнета эффективная среда состоит из матричной среды с $ε m {\ displaystyle \ varepsilon _ {m}}$ $\ varepsilon_m$ и включений с $ε i {\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$ $\ varepsilon _ {i}$ .

Формула

Уравнение Максвелла Гарнетта гласит:

(ε eff - ε m ε eff + 2 ε m) = δ i (ε i - ε m ε i + 2 ε m), (6) {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} - \ varepsilon _ {m}} {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} +2 \ varepsilon _ {m}}}) \ right) = \ delta _ {i} \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {m}} {\ varepsilon _ {i} +2 \ varepsilon _ {m}}} \ right), \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (6)}

\ left (\ frac {\ varepsilon_ \ mathrm {eff} - \ varepsilon_m} {\ varepsilo n_ \ mathrm {eff} +2 \ varepsilon_m} \ right) = \ delta_i \ left (\ frac {\ varepsilon_i- \ varepsilon_m} {\ varepsilon_i + 2 \ varepsilon_m} \ right), \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (6)

где $ε eff {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {eff}}}$ $\ varepsilon_ \ mathrm {eff}$ - эффективная диэлектрическая проницаемость среды, $ε i {\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$ $\ varepsilon _ {i}$ вкл. использования и $ε m {\ displaystyle \ varepsilon _ {m}}$ $\ varepsilon_m$ матрицы; $δ i {\ displaystyle \ delta _ {i}}$ $\ delta _ {i}$ - объемная доля включений.

Уравнение Максвелла Гарнетта решается следующим образом:

ε eff = ε m 2 δ i (ε i - ε m) + ε i + 2 ε m 2 ε m + ε i - δ i (ε я - ε м), (7) {\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} \, = \, \ varepsilon _ {m} \, {\ frac {2 \ delta _ {i} (\ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {m}) + \ varepsilon _ {i} +2 \ varepsilon _ {m}} {2 \ varepsilon _ {m} + \ varepsilon _ {i} - \ delta _ {i} ( \ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {m})}}, \, \, \, \, \, \, \, \, (7)}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} \, = \, \ varepsilon _ {m} \, {\ frac {2 \ delta _ {i} (\ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {m}) + \ varepsilon _ {i} +2 \ varepsilon _ {m}} {2 \ varepsilon _ {m} + \ varepsilon _ {i} - \ delta _ {i} (\ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {m})}}, \, \, \, \, \, \, \, \, (7)}

при условии, что знаменатель не обращается в нуль. Простой калькулятор MATLAB, использующий эту формулу, выглядит следующим образом.

% Этот простой калькулятор MATLAB вычисляет% эффективной диэлектрической проницаемости смеси материала включения в базовой среде% в соответствии с теорией Максвелла Гарнетта, представленной в:% https://en.wikipedia.org/w/Effective_Medium_Approximations % INPUTS:% eps_base: диэлектрическая проницаемость основного материала; % eps_incl: диэлектрическая проницаемость материала включения; % vol_incl: объемная доля материала включения; % OUTPUT:% eps_mean: эффективная диэлектрическая проницаемость смеси. функция [eps_mean] = Формула МаксвеллаГарнетта (eps_base, eps_incl, vol_incl) small_number_cutoff = 1e - 6; if vol_incl < 0 || vol_incl>1 disp (['ВНИМАНИЕ: объем включенного материала вне допустимого диапазона!']); end factor_up = 2 * (1 - vol_incl) * eps_base + (1 + 2 * vol_incl) * eps_incl; factor_down = (2 + vol_incl) * eps_base + (1 - vol_incl) * eps_incl; if abs (factor_down) < small_number_cutoff disp(['WARNING: the effective medium is singular!']); eps_mean = 0; else eps_mean = eps_base * factor_up / factor_down; end

Вывод

Для вывода уравнения Максвелла-Гарнетта мы начинаем с массива поляризуемых частиц. Используя концепцию локального поля Лоренца, мы получаем соотношение Клаузиуса-Моссотти :

ε - 1 ε + 2 = 4 π 3 ∑ j N j α j {\ displaystyle {\ frac {\ varepsilon -1} { \ varepsilon +2}} = {\ frac {4 \ pi} {3}} \ sum _ {j} N_ {j} \ alpha _ {j}}

\ frac {\ varepsilon-1} {\ varepsilon + 2} = \ frac {4 \ pi} {3} \ sum_j N_j \ alpha_j

Где $N j {\ displaystyle N_ { j}}$ $N_ {j}$ - количество частиц в единице объема. Используя элементарную электростатику, мы получаем сферическое включение с диэлектрической проницаемостью $ε i {\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$ $\ varepsilon _ {i}$ и радиусом $a {\ displaystyle a}$ $a$ поляризуемость $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ :

α = (ε i - 1 ε i + 2) a 3 {\ displaystyle \ alpha = \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {i } -1} {\ varepsilon _ {i} +2}} \ right) a ^ {3}}

\ alpha = \ left (\ frac {\ varepsilon_i-1} {\ varepsilon_i + 2} \ right) a ^ {3}

Если мы объединим $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ с Клаузиусом Мосотти уравнение, получаем:

(ε eff - 1 ε eff + 2) = δ я (ε i - 1 ε i + 2) {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}) } -1} {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} +2}} \ right) = \ delta _ {i} \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {i} -1} {\ varepsilon _ { i} +2}} \ right)}

\ left (\ frac {\ varepsilon_ \ mathrm {eff} -1} {\ varepsilon_ \ mathrm {eff} +2 } \ right) = \ delta_i \ left (\ frac {\ varepsilon_i-1} {\ varepsilon_i + 2} \ right)

где $ε eff {\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {eff}}}$ $\ varepsilon_ \ mathrm {eff}$ - эффективная диэлектрическая проницаемость среды, $ε я {\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$ $\ varepsilon _ {i}$ включений; $δ i {\ displaystyle \ delta _ {i}}$ $\ delta _ {i}$ - объемная доля включений.. Поскольку модель Максвелла Гарнета представляет собой композицию матричной среды с включениями, мы усиливаем уравнение:

(ε эфф - ε м ε эфф + 2 ε м) знак равно δ я (ε я - ε м ε я + 2 ε м) (8) {\ displaystyle \ left ({\ frac {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} - \ varepsilon _ {m}} {\ varepsilon _ {\ mathrm {eff}} +2 \ varepsilon _ {m}}} \ right) = \ delta _ {i} \ left ({ \ frac {\ varepsilon _ {i} - \ varepsilon _ {m}} {\ varepsilon _ {i} +2 \ varepsilon _ {m}}} \ right) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (8)}

\ left (\ frac {\ varepsilon_ \ mathrm {eff} - \ varepsilon_m} {\ varepsilon_ \ mathrm {eff} +2 \ varepsilon_m} \ right) = \ delta_i \ left (\ frac {\ varepsilon_i- \ varepsilon_m} {\ varepsilon_i + 2 \ varepsilon_m} \ right) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ( 8)

Срок действия

В общих чертах EMA Максвелла Гарнетта ожидается, будет действительным при малых объемных долях $δ i {\ displaystyle \ delta _ {i}}$ $\ delta _ {i}$ , поскольку предполагается, что домены пространственно разделены и электростатическое взаимодействие между выбранными включениями и всеми другими соседние включения не учитываются. Формула Максвелла Гарнетта, в отличие от формулы Бруггемана, перестает быть правильной, когда включения становятся резонансными. В случае плазмонного резонанса формула Максвелла Гарнетта верна только при объемной доле включений $δ i < 10 − 5 {\displaystyle \delta _{i}<10^{-5}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {i} <10 ^ {- 5}}$ . Применимость приближения эффективной среды для диэлектрических мультислоев и металл-диэлектрических мультислоев была изучена, показав, что есть определенные случаи, когда приближение эффективной среды не выполняется, и при применении теории следует проявлять осторожность.

Теория эффективной среды для резисторных цепей

Для сети, состоящей из высокой плотности случайных резисторов, точное решение для каждого отдельного элемента может быть непрактичным или невозможным. В таком случае случайная сеть резисторов может рассматриваться как двумерный график, а эффективное сопротивление может быть смоделировано в терминах мер графа и геометрических свойств сетей. Предполагая, что длина кромки << electrode spacing and edges to be uniformly distributed, the potential can be considered to drop uniformly from one electrode to another. Sheet resistance of such a random network ( $R sn {\ displaystyle R_ {sn}}$ ${\ displaystyle R_ {sn}}$ ) может быть записана в терминах плотности кромок (проводов) ( $NE {\ displaystyle N_ {E}}$ $N_ {E}$ ), удельное сопротивление ( $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ ), ширина ( $w {\ displaystyle w}$ $w$ ) и толщина ( $t {\ displaystyle t}$ $t$ ) ребер (проводов) как:

$R sn = π 2 ρ wt NE (9) {\ displaystyle R_ {sn} \, = \, {\ frac { \ pi} {2}} {\ frac {\ rho} {w \, t \, {\ sqrt {N_ {E}}}}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (9)}$ ${\ displaystyle R_ {sn} \, = \, { \ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ rho} {w \, t \, {\ sqrt {N_ {E}}}}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (9)}$

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Lakhtakia (Ed.), A. (1996). Избранные статьи о линейных оптических композитных материалах [Milestone Vol. 120]. Беллингхэм, Вашингтон, США: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4. CS1 maint: дополнительный текст: список авторов (ссылка )
Tuck, Choy (1999). Действует Medium Theory (1-е изд.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851892-1.
Lakhtakia (Ed.), A. (2000). Электромагнитные поля в нетрадиционных материалах и структурах. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9. CS1 maint: дополнительный текст: список авторов (ссылка )
Weiglhofer (Ed.) ; Lakhtakia (Ed.), A. (2003). Introduction to Complex Medium for Optics and Electromagnetics. Bellingham, WA, USA: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4. CS1 maint: дополнительный текст: список авторов (ссылка )
Mackay, TG ; Lakhtakia, A. (2010). Electromagnetic Anisotropy and Bianisotropy: A Field Guide (1 ed.). Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0.