Ядро Дирихле

В математическом анализе ядро ​​Дирихле представляет собой набор функций

$D\; n\; (x)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \sum \; k\; =\; -\; nneikx\; =\; 1\; 2\; \pi \; (1\; +\; 2\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; cos\; \; (kx))\; =\; sin\; \; ((n\; +\; 1/2)\; x)\; 2\; \pi \; sin\; \; (x\; /\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -n\}\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{ikx\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cos\; (kx)\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (n\; +\; 1/2\; \backslash \; right)\; x\; \backslash \; right)\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sin\; (x\; /\; 2)\}\}.\}$

Он назван в честь Питера Густава Лежена Дирихле.

График первых нескольких ядер Дирихле, показывающий его сходимость к Дельта Дирака распределение.

Важность ядра Дирихле проистекает из его связи с рядами Фурье. свертка D n (x) с любой функцией ƒ периода 2π является приближением ряда Фурье n-й степени к ƒ, т. Е.

$(D\; n\; \ast \; f)\; (Икс)\; знак\; равно\; \int \; -\; \pi \; \pi \; е\; (Y)\; D\; N\; (Икс\; -\; Y)\; dy\; =\; \sum \; К\; =\; -\; nnf\; ^\; (k)\; eikx,\; \{\backslash \; Displaystyle\; (D\_\; \{n\}\; *\; f)\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; f\; (y)\; D\_\; \{n\}\; (xy)\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -n\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (k)\; e\; ^\; \{ikx\},\}$

где

$f\; ^\; (k)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \int \; -\; \pi \; \pi \; f\; (x)\; e\; -\; ikxdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{f\}\}\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; f\; (x)\; e\; ^\; \{-\; ikx\}\; \backslash ,\; dx\}$

- k-й коэффициент Фурье ƒ. Отсюда следует, что для изучения сходимости рядов Фурье достаточно изучить свойства ядра Дирихле.

График первых нескольких ядер Дирихле

• 1 L норма функции ядра
• 2 Связь с дельта-функцией
• 3 Доказательство тригонометрического тождества
  • 3.1 Альтернативное доказательство тригонометрическая идентичность
• 4 Вариант идентичности
• 5 См. также
• 6 Ссылки

Особое значение имеет тот факт, что L норма D n на $[0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$расходится до бесконечности при n → ∞. Можно оценить, что

$\Vert \; D\; n\; \Vert \; L\; 1\; =\; \Omega \; (log\; \; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; D\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \_\; \{L\; ^\; \{1\}\}\; =\; \backslash \; Omega\; (\backslash \; log\; n).\; \backslash ,\}$

Используя аргумент суммы Римана для оценки вклада в наибольшей окрестности ноль, в котором $D\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{n\}\}$положительно, и неравенство Дженсена для оставшейся части, также можно показать, что:

$\Vert \; D\; n\; \Vert \; L\; 1\; \ge \; 4\; Si\; \; (\pi )\; +\; 8\; \pi \; log\; \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; D\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \_\; \{L\; ^\; \{1\}\}\; \backslash \; geq\; 4\; \backslash \; operatorname\; \{Si\}\; (\backslash \; pi)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; log\; n.\}$

Это отсутствие равномерной интегрируемости является причиной многих явлений расходимости рядов Фурье. Например, вместе с принципом равномерной ограниченности его можно использовать, чтобы показать, что ряд Фурье непрерывной функции может не сходиться поточечно, довольно драматическим образом. Подробнее см. сходимость ряда Фурье.

Точное доказательство первого результата: $\Vert \; D\; n\; \Vert \; L\; 1\; [0,\; 2\; \pi ]\; =\; \Omega \; (log\; \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; D\_\; \{n\}\; \backslash \; |\; \_\; \{L\; ^\; \{1\}\; [0,2\; \backslash \; pi]\}\; =\; \backslash \; Omega\; (\backslash \; log\; n)\}$определяется как

$\int \; 0\; 2\; \pi \; |\; D\; n\; (x)\; |\; d\; x\; \ge \; \int \; 0\; \pi \; |\; грех\; \; [(2\; n\; +\; 1)\; x]\; |\; x\; d\; x\; \ge \; \sum \; k\; =\; 0\; 2\; n\; \int \; k\; \pi \; (k\; +\; 1)\; \pi \; |\; грех\; \; (s)\; |\; s\; d\; s\; \ge \; |\; \sum \; k\; =\; 0\; 2\; n\; \int \; 0\; \pi \; sin\; \; (s)\; (k\; +\; 1)\; \pi \; d\; s\; |\; Знак\; равно\; 2\; \pi \; ЧАС\; 2\; n\; +\; 1\; \ge \; 2\; \pi \; журнал\; \; (2\; n\; +\; 1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; |\; D\_\; \{n\}\; (x)\; |\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; geq\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; sin\; [(2n\; +\; 1)\; x]\; |\}\; \{x\}\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \backslash \; geq\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{2n\}\; \backslash \; int\; \_\; \{k\; \backslash \; pi\}\; ^\; \{(k\; +\; 1)\; \backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; sin\; (s)\; |\}\; \{s\}\}\; \backslash ,\; ds\; \backslash \backslash \; [\; 5pt]\; \backslash \; geq\; \backslash \; left\; |\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{2n\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (s)\}\; \{(k\; +\; 1)\; \backslash \; pi\}\; \}\; \backslash ,\; ds\; \backslash \; right\; |\; \backslash \backslash \; [5pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; H\_\; \{2n\; +\; 1\}\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \backslash \; geq\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; log\; (2n\; +\; 1),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где мы использовали тождество ряда Тейлора, что $2\; /\; x\; \le \; 1\; /\; |\; грех\; \; (x\; /\; 2)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; /\; x\; \backslash \; leq\; 1\; /\; |\; \backslash \; sin\; (x\; /\; 2)\; |\}$и где $H\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\}$- первые -порядок номера гармоник.

Возьмем периодическую дельта-функцию Дирака, которая не является функцией действительной переменной, а скорее «обобщенная функция », также называемая «распределением», и умноженная на 2π. Получаем единичный элемент для свертки на функциях периода 2π. Другими словами, у нас есть

$f\; \ast \; (2\; \pi \; \delta )\; =\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; *\; (2\; \backslash \; pi\; \backslash \; delta)\; =\; f\}$

для каждой функции ƒ периода 2π. Представление этой «функции» в виде ряда Фурье:

$2\; \pi \; \delta \; (x)\; \sim \; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; e\; i\; k\; x\; =\; (1\; +\; 2\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; cos\; \; (k\; x)).\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; delta\; (x)\; \backslash \; sim\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{ikx\}\; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; cos\; (kx)\; \backslash \; right).\}$

Следовательно, ядро ​​Дирихле, которое представляет собой просто последовательность частичных сумм этого ряда, можно рассматривать как приближенное тождество. Однако абстрактно это не является приблизительным тождеством положительных элементов (отсюда и упомянутые выше недостатки).

тригонометрическое тождество

$\sum \; k\; =\; -\; nneikx\; =\; sin\; \; ((n\; +\; 1/2)\; x)\; sin\; \; (x\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -n\}\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{ikx\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ((n\; +\; 1/2)\; x)\}\; \{\backslash \; sin\; (x\; /\; 2)\}\}\; \}$

, отображаемый в верхней части этой статьи, может быть установлен следующим образом. Сначала напомним, что сумма конечного геометрического ряда равна

$\sum \; k\; =\; 0\; n\; a\; r\; k\; =\; a\; 1\; -\; r\; n\; +\; 1\; 1\; -\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; ar\; ^\; \{k\}\; =\; a\; \{\backslash \; frac\; \{1-r\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{1-r\}\}.\}$

В частности, имеем

$\sum \; k\; =\; -\; nnrk\; =\; r\; -\; n\; \cdot \; 1\; -\; r\; 2\; n\; +\; 1\; 1\; -\; r.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -n\}\; ^\; \{n\}\; r\; ^\; \{k\}\; =\; r\; ^\; \{-\; n\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1-r\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{1-r\}\}.\}$

Умножьте числитель и знаменатель на $r\; -\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; ^\; \{-\; 1/2\}\}$, получив

$r\; -\; n\; -\; 1\; /\; 2\; r\; -\; 1/2\; \cdot \; 1\; -\; r\; 2\; n\; +\; 1\; 1\; -\; r\; =\; r\; -\; n\; -\; 1/2\; -\; rn\; +\; 1/2\; r\; -\; 1/2\; -\; r\; 1/2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{-\; n-1/2\}\}\; \{r\; ^\; \{-\; 1/2\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1-r\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\}\; \{1-r\}\; \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\; ^\; \{-\; n-1/2\}\; -r\; ^\; \{n\; +\; 1/2\}\}\; \{r\; ^\; \{-\; 1/2\}\; -r\; ^\; \{1/2\}\}\}.\}$

В случае $r\; =\; eix\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; e\; ^\; \{ix\}\}$мы имеем

$\sum \; k\; =\; -\; nneikx\; =\; e\; -\; (n\; +\; 1/2)\; ix\; -\; e\; (n\; +\; 1/2)\; ixe\; -\; ix\; /\; 2\; -\; eix\; /\; 2\; =\; -\; 2\; i\; sin\; \; ((n\; +\; 1/2)\; x)\; -\; 2\; i\; sin\; \; (x\; /\; 2)\; =\; sin\; \; ((n\; +\; 1\; /\; 2)\; Икс)\; грех\; \; (Икс\; /\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -n\}\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{ikx\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; (n\; +\; 1/2)\; ix\; \}\; -e\; ^\; \{(n\; +\; 1/2)\; ix\}\}\; \{e\; ^\; \{-\; ix\; /\; 2\}\; -e\; ^\; \{ix\; /\; 2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-2i\; \backslash \; sin\; ((n\; +\; 1/2)\; x)\}\; \{-\; 2i\; \backslash \; sin\; (x\; /\; 2)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ((n\; +\; 1/2)\; x)\}\; \{\backslash \; sin\; (x\; /\; 2)\}\}\}$

по мере необходимости.

Альтернативное доказательство тригонометрической идентичности

Начнем с ряда

$f\; (x)\; =\; 1\; 2\; +\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; cos\; \; (k\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; cos\; (kx).\}$

Умножьте обе части указанного выше числа на

$2\; sin\; \; (x\; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; sin\; (x\; /\; 2)\}$

и используйте тригонометрическое тождество

$cos\; \; (a)\; sin\; \; (b)\; =\; sin\; \; (a\; +\; b)\; -\; грех\; \; (a\; -\; b)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; (a)\; \backslash \; sin\; (b)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; (a\; +\; b)\; -\; \backslash \; sin\; (ab)\}\; \{2\}\}\}$

к уменьшите правую часть до

$sin\; \; ((n\; +\; 1/2)\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ((n\; +\; 1/2)\; x).\}$

Если сумма составляет только неотрицательные целые числа (что может возникнуть при вычислении дискретного Фурье преобразовать, который не центрирован), то с помощью аналогичных методов мы можем показать следующее тождество:

$\sum \; k\; =\; 0\; N\; -\; 1\; eikx\; =\; ei\; (N\; -\; 1)\; x\; /\; 2\; sin\; \; (N\; x\; /\; 2)\; грех\; \; (Икс\; /\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{N-1\}\; е\; ^\; \{ikx\}\; =\; е\; ^\; \{я\; (N-1)\; х\; /\; 2\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; sin\; (\; N\; \backslash ,\; x\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; sin\; (x\; /\; 2)\}\}\}$

• Ядро Фейера

• Эндрю М. Брукнер, Джудит Б. Брукнер, Брайан С. Томсон : Реальный анализ. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 0-13-458886-X, S.620 (vollständige Online-Version (Google Книги) )
• Подкорытов А.Н. (1988), "Асимптотическое поведение ядра Дирихле сумм Фурье относительно многоугольника". Журнал советской математики, 42 (2): 1640–1646. Doi: 10.1007 / BF01665052
• Леви Х. (1974), «Геометрическая конструкция ядра Дирихле». Труды Нью-Йоркской академии наук, 36: 640–643. Doi: 10.1111 / j.2164-0947.1974.tb03023.x
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Ядро Дирихле в PlanetMath