Ядро Fejér

редактировать

В математике ядро Фейера представляет собой ядро суммируемости, используемое для выражения влияния суммирования Чезаро на Фурье. сер ies. Это неотрицательное ядро, дающее начало приблизительной идентичности. Он назван в честь венгерского математика Липота Фейера (1880–1959).

График нескольких ядер Fejér

Содержание

1 Определение
2 Свойства
- 2.1 Свертка
3 См. Также
4 Ссылки

Определение

Ядро Фейера определяется как

F n (x) = 1 n ∑ k = 0 n - 1 D k (x), {\ displaystyle F_ {n} (x) = {\ frac {1 } {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} D_ {k} (x),}

F_ {n} (x) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} D_ {k} (x),

где

D k (x) = ∑ s = - kkeisx {\ displaystyle D_ {k} (x) = \ sum _ {s = -k} ^ {k} {\ rm {e}} ^ {isx}}

D_ {k} (x) = \ sum _ { {s = -k}} ^ {k} {{\ rm {e}}} ^ {{isx}}

- это k-й порядок ядро Дирихле. Его также можно записать в замкнутой форме как

F n (x) = 1 n (sin ⁡ nx 2 sin ⁡ x 2) 2 = 1 n (1 - cos ⁡ (nx) 1 - cos ⁡ x) { \ Displaystyle F_ {n} (x) = {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {\ sin {\ frac {nx} {2}}} {\ sin {\ frac {x} { 2}}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {1- \ cos (nx)} {1- \ cos x}} \ right)}

F_ {n} (x) = {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {\ sin {\ frac {nx} {2}}} {\ sin {\ frac {x} {2}}}} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} { n}} \ left ({\ frac {1- \ cos (nx)} {1- \ cos x}} \ right)

, где определено это выражение.

Ядро Фейера также может быть выражено как

F n (x) = ∑ | j | ≤ n - 1 (1 - | j | n) eijx {\ displaystyle F_ {n} (x) = \ sum _ {| j | \ leq n-1} \ left (1 - {\ frac {| j |}) {n}} \ right) e ^ {ijx}}

{\ displaystyle F_ {n} (x) = \ sum _ {| j | \ leq n-1} \ left (1 - {\ frac {| j |} {n}} \ right) e ^ {ijx}}

Свойства

Ядро Фейера является ядром положительной суммируемости. Важное свойство ядра Фейера - $F n (x) ≥ 0 {\ displaystyle F_ {n} (x) \ geq 0}$ $F_ {n} (x) \ geq 0$ со средним значением $1 {\ displaystyle 1 }$ $1$ .

Свертка

Свертка Fnположительна: для $f ≥ 0 {\ displaystyle f \ geq 0}$ $f \ ge 0$ периода $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ удовлетворяет

0 ≤ (f ∗ F n) (x) = 1 2 π ∫ - π π f (y) F n (x - y) dy. {\ Displaystyle 0 \ Leq (е * F_ {п}) (х) = {\ гидроразрыва {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y) F_ {n } (xy) \, dy.}

0 \ leq (f * F_ {n}) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ pi}} ^ {\ pi} f (y) F_ {n} (xy) \, dy.

Поскольку $f ∗ D n = S n (f) = ∑ | j | ≤ nf ^ jeijx {\ displaystyle f * D_ {n} = S_ {n} (f) = \ sum _ {| j | \ leq n} {\ widehat {f}} _ {j} e ^ {ijx}}$ $f * D_ {n} = S_ {n} (f) = \ sum _ {{| j | \ leq n}} \ widehat {f} _ {j} e ^ {{ijx}}$ , имеем $f * F n = 1 n ∑ k = 0 n - 1 S k (f) {\ displaystyle f * F_ {n} = {\ frac {1} {n} } \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} S_ {k} (f)}$ $f * F_ {n} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} S_ {k} (f)$ , что является суммированием Чезаро ряда Фурье.

По неравенству свертки Юнга,

‖ F n ∗ f ‖ L p ([- π, π]) ≤ ‖ f ‖ L p ([- π, π]) {\ displaystyle \ | F_ {n} * f \ | _ {L ^ {p} ([- \ pi, \ pi])} \ leq \ | f \ | _ {L ^ {p} ([- \ pi, \ pi])}}

\ | F_ {n} * f \ | _ {{L ^ {p} ([- \ pi, \ pi]) }} \ leq \ | f \ | _ {{L ^ {p} ([- \ pi, \ pi])}}

для каждого

1 ≤ p ≤ ∞ {\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}

1 \ leq p \ leq \ infty

для $f ∈ L p {\ displaystyle f \ in L ^ {p}}$ $f \ in L ^ {p}$ .

Кроме того, если $f ∈ L 1 ([- π, π]) {\ displaystyle f \ in L ^ {1} ([- \ pi, \ pi])}$ $е \ in L ^ {1} ([- \ pi, \ pi])$ , тогда

f ∗ F n → f {\ displaystyle f * F_ {n} \ rightarrow f}

f * F_ {n} \ rightarrow f

Поскольку $[- π, π] {\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ $[- \ pi, \ pi]$ конечно, $L 1 ([- π, π]) ⊃ L 2 ([- π, π]) ⊃ ⋯ ⊃ L ∞ ([- π, π ]) {\ Displaystyle L ^ {1} ([- \ пи, \ пи]) \ supset L ^ {2} ([- \ pi, \ pi]) \ supset \ cdots \ supset L ^ {\ infty} ( [- \ pi, \ pi])}$ $L ^ {1} ([- \ pi, \ pi]) \ supset L ^ {2} ([- \ pi, \ pi]) \ supset \ cdots \ supset L ^ {\ infty} ([- \ pi, \ pi])$ , поэтому результат сохраняется для других $L p {\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ пробелов, $p ≥ 1 {\ displaystyle p \ geq 1}$ $p \ geq 1$ тоже.

Если $f {\ displaystyle f}$ $f$ непрерывно, то сходимость равномерна, что дает доказательство теоремы Вейерштрасса.

Одно следствие поточечной п.в. сходимость - это уникальность коэффициентов Фурье: если $f, g ∈ L 1 {\ displaystyle f, g \ in L ^ {1}}$ $f, g \ in L ^ {1}$ с $f ^ = g ^ {\ displaystyle {\ hat {f}} = {\ hat {g}}}$ ${\ hat {f}} = {\ hat {g}}$ , затем $f = g {\ displaystyle f = g}$ $f = g$ ae Это следует из записи $f ∗ F n = ∑ | j | ≤ n (1 - | j | n) f ^ jeijt {\ displaystyle f * F_ {n} = \ sum _ {| j | \ leq n} \ left (1 - {\ frac {| j |} {n}) } \ right) {\ hat {f}} _ {j} e ^ {ijt}}$ ${\ displaystyle f * F_ {n} = \ sum _ {| j | \ leq n} \ left (1 - {\ frac {| j |} {n}} \ right) {\ hat {f}} _ {j} e ^ {ijt}}$ , который зависит только от коэффициентов Фурье.
Второе следствие состоит в том, что если $lim n → ∞ S n (f) {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} (f)}$ $\ lim _ {{n \ to \ infty}} S_ {n} (f)$ существует ae, тогда $lim n → ∞ F n (f) = f {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} F_ {n} (f) = f}$ $\ lim _ {{n \ to \ infty}} F_ {n} (f) = f$ ae, поскольку Чезаро означает $F n ∗ f {\ displaystyle F_ {n} * f}$ $F_ { n} * f$ сходятся к исходному пределу последовательности, если он существует.

См. также

Ссылки

^Hoffman, Kenneth (1988). Банаховы пространства аналитических функций. Дувр. п. 17. ISBN 0-486-45874-1.