Дебайский чехол

оболочка Дебая (также электростатическая оболочка ) - это слой в плазме, который имеет большую плотность положительных ионов и, следовательно, общий избыточный положительный заряд, который уравновешивает противоположный отрицательный заряд на поверхности материала, с которым он контактирует. Толщина такого слоя составляет несколько длин Дебая, величина, размер которой зависит от различных характеристик плазмы (например, температуры, плотности и т. Д.).

Дебаевский слой возникает в плазме, потому что электроны обычно имеют температуру на порядок или выше, чем у ионов, и намного легче. Следовательно, они быстрее ионов по крайней мере в $mi\; /\; me\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\; /\; m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\}\}\}$. Таким образом, на границе раздела с поверхностью материала электроны вылетают из плазмы, заряжая поверхность отрицательно по сравнению с плазмой в объеме. Из-за экранирования Дебая масштаб переходной области будет Длина Дебая $\lambda \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{D\}\}\}$. По мере увеличения потенциала все больше и больше электронов отражается потенциалом оболочки. Равновесие, наконец, достигается, когда разность потенциалов в несколько раз превышает температуру электронов.

Дебаевский слой - это переход от плазмы к твердой поверхности. Схожая физика присутствует в двух областях плазмы, имеющих разные характеристики; переход между этими областями известен как двойной слой и включает один положительный и один отрицательный слой.

• 1 Описание
• 2 Математическая обработка
  • 2.1 Уравнение плоской оболочки
  • 2.2 Критерий оболочки Бома
  • 2.3 Закон Чайлда – Ленгмюра
• 3 См. Также
• 4 Сноски

Положительные ионы оболочки вокруг проволочной сетки в термоэлектронной газовой трубке, где ⊕ представляет собой положительный заряд (не в масштабе) (По Ленгмюру, 1929)

Впервые были описаны оболочки американского физика Ирвинга Ленгмюра. В 1923 году он писал:

«Электроны отталкиваются от отрицательного электрода, в то время как положительные ионы притягиваются к нему. Таким образом, вокруг каждого отрицательного электрода имеется оболочка определенной толщины, содержащая только положительные ионы и нейтральные атомы. [..] Электроны являются отражается от внешней поверхности оболочки, в то время как все положительные ионы, которые достигают оболочки, притягиваются к электроду. [...] прямо следует, что не происходит никаких изменений в токе положительных ионов, достигающих электрода. Фактически электрод полностью экранирован от разряд положительно-ионной оболочки, и его потенциал не может влиять ни на явления, происходящие в дуге, ни на ток, протекающий по электроду ».

Ленгмюр и соавтор Альберт В. Халл далее описали оболочка, сформированная в термоэлектронном клапане :

"На рис. 1 графически показано состояние, которое существует в такой трубке, содержащей пары ртути. Пространство между нитью накала и пластиной заполнено смесью электронов и положительных ионов в n ранние равные номера, получившие название «плазма». Проволока, погруженная в плазму с нулевым потенциалом по отношению к ней, будет поглощать каждый ион и электрон, которые ударяют по ней. Поскольку электроны движутся примерно в 600 раз быстрее, чем ионы, в 600 раз больше электронов ударит по проволоке, чем ионов. Если провод изолирован, он должен принимать такой отрицательный потенциал, чтобы он принимал равное количество электронов и ионов, то есть такой потенциал, что он отталкивает все, кроме 1 из 600 электронов, направляющихся к нему ».

«Предположим, что этот провод, который мы можем принять за часть сетки, сделан еще более отрицательным с целью контроля тока через трубку. Теперь он оттолкнет все направляющиеся к нему электроны, но получит все летящие к нему положительные ионы. Таким образом, вокруг провода будет область, которая содержит положительные ионы и не содержит электронов, как схематически показано на рис. 1. Ионы ускоряются по мере приближения к отрицательному проводу, и в этой оболочке будет существовать градиент потенциала, как мы можем назовем его положительными ионами, так что потенциал становится все менее и менее отрицательным по мере удаления от проволоки и на определенном расстоянии равен потенциалу плазмы. Это расстояние мы определяем как границу оболочки. За пределами этого расстояния влияние потенциала проволоки отсутствует ».

Уравнение плоской оболочки

Количественная физика оболочки Дебая определяется четырьмя явлениями:

Сохранение энергии ионов: Если предположить для простоты холодные ионы с массой $mi\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\}$, входящие в оболочку со скоростью $u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\}$, имея заряд, противоположный электрону, для сохранения энергии в потенциале оболочки требуется

$1\; 2\; miu\; (x)\; 2\; =\; 1\; 2\; miu\; 0\; 2\; -\; е\; \phi \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\; \backslash ,\; u\; (x)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\_\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{i\}\}\; \backslash ,\; u\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; -e\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\; (x)\}$,

где $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$- заряд электрон воспринимается положительно, т.е. $e\; =\; 1.602\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; =\; 1.602\}$x $10-19\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{-\; 19\}\}$$C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{C\}\}$.

Ионная непрерывность: В установившемся режиме ионы нигде не накапливаются, поэтому поток везде одинаково:

$n\; 0\; u\; 0\; =\; ni\; (x)\; u\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{0\}\; \backslash ,\; u\_\; \{0\}\; =\; n\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\; (x)\; \backslash ,\; u\; (\; x)\}$.

Соотношение Больцмана для электронов: Поскольку большинство электронов отражается, их плотность определяется как

$ne\; (x)\; =\; n\; 0\; exp\; \; (e\; \phi \; (x)\; k\; BT\; е)\; \{\backslash \; Displaystyle\; п\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; (x)\; =\; n\_\; \{0\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\; (x)\}\; \{k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\; \}\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\}$.

Уравнение Пуассона : Кривизна электростатического потенциала связана с чистой плотностью заряда следующим образом:

$d\; 2\; \phi \; (Икс)\; dx\; 2\; знак\; равно\; е\; (ne\; (x)\; -\; ni\; (x))\; ϵ\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; \backslash \; varphi\; (x)\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; (n\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; (x)\; -n\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\; (x))\}\; \{\backslash \; epsilon\; \_\; \{0\}\}\}\}$.

Объединение этих уравнений и их запись в терминах безразмерного потенциала, положения и скорости иона,

$\chi \; (\xi )\; =\; -\; e\; \phi \; (\xi )\; k\; BT\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; (\backslash \; xi)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; xi)\; \}\; \{К\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\}\}\}$

$\xi \; =\; x\; \lambda \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; ma\; thrm\; \{D\}\}\}\}\}$

$M\; =\; uo\; (k\; BT\; e\; /\; mi)\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{u\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{o\}\}\}\; \{(\; k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; /\; m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\})\; ^\; \{1/2\}\}\}\}$

мы приходим к уравнению оболочки:

$\chi \; ″\; Знак\; равно\; (1\; +\; 2\; \chi \; M\; 2)\; -\; 1/2\; -\; е\; -\; \chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \text{'}\text{'}\; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; chi\}\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; ^\; \{2\})\; \}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1/2\}\; -e\; ^\; \{-\; \backslash \; chi\}\}$.

Критерий оболочки Бома

Уравнение оболочки можно проинтегрировать один раз, умножив на $\chi \; \prime \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \text{'}\}$:

$\int \; 0\; \xi \; \chi \; \prime \; \chi \; ″\; d\; \xi \; 1\; =\; \int \; 0\; \xi \; (1\; +\; 2\; \chi \; M\; 2)\; -\; 1/2\; \chi \; \prime \; d\; \xi \; 1\; -\; \int \; 0\; \xi \; e\; -\; \chi \; \chi \; \prime \; d\; \xi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; xi\}\; \backslash \; chi\; \text{'}\backslash \; chi\text{'}\; \text{'}\backslash ,\; d\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; xi\}\; \backslash \; left\; (1+\; \{\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; chi\}\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash \; chi\; \text{'}\backslash ,\; d\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; xi\}\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; chi\}\; \backslash \; chi\; \text{'}\backslash ,\; d\; \backslash \; xi\; \_\; \{1\}\}$

На краю оболочки ($\xi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; xi\; =\; 0\}$), мы можем определить потенциал равным нулю ($\chi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; =\; 0\}$) и предположить, что электрическое поле также равно нулю ($\chi \; \prime \; Знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ч\; i\; \text{'}=\; 0\}$). С этими граничными условиями интеграция дает

$1\; 2\; \chi \; \prime \; 2\; =\; M\; 2\; [(1\; +\; 2\; \chi \; M\; 2)\; 1/2\; -\; 1]\; +\; e\; -\; \chi \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; chi\; \text{'}^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; chi\}\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; ^\; \{2\})\; \}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\; -1\; \backslash \; right]\; +\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; chi\}\; -1\}$

Это легко переписать в виде интеграла в замкнутой форме, хотя его можно решить только численно. Тем не менее важную информацию можно получить аналитически. Поскольку левая сторона представляет собой квадрат, правая часть также должна быть неотрицательной для каждого значения $\chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\}$, в частности для малых значений. Глядя на разложение Тейлора вокруг $\chi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; =\; 0\}$, мы видим, что первый член, который не обращается в нуль, является квадратичным, поэтому мы можем потребовать

$1\; 2\; \chi \; 2\; (-\; 1\; M\; 2\; +\; 1)\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; chi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{M\})\; \}\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; 1\; \backslash \; right)\; \backslash \; geq\; 0\}$,

или

$M\; 2\; \ge \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; geq\; 1\}$,

или

$U\; 0\; \ge \; (К\; BT\; е\; /\; ми)\; 1/2\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\_\; \{0\}\; \backslash \; geq\; (к\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; /\; m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\})\; ^\; \{1/2\}\}$.

Это неравенство известно как критерий оболочки Бома в честь его первооткрывателя Дэвида Бома. Если ионы входят в оболочку слишком медленно, потенциал оболочки «съест» свой путь в плазму, чтобы ускорить их. В конечном итоге так называемая оболочка разовьется с потенциальным падением порядка $(k\; BT\; e\; /\; 2\; e)\; \{\backslash \; displaystyle\; (k\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{B\}\}\; T\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{e\}\}\; /\; 2e)\}$и масштаб, определяемый физикой ионного источника (часто такой же, как размеры плазмы). Обычно критерий Бома выполняется с равенством, но бывают ситуации, когда ионы входят в оболочку со сверхзвуковой скоростью.

Закон Чайлда – Ленгмюра

Хотя уравнение оболочки обычно необходимо интегрировать численно, мы можем найти приближенное решение аналитически, пренебрегая $e\; -\; \chi \; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; chi\}\}$термин. Это означает пренебрежение электронной плотностью в оболочке или анализ только той части оболочки, где электронов нет. Для «плавающей» поверхности, то есть такой, которая не потребляет чистый ток из плазмы, это полезное, хотя и грубое приближение. Для поверхности с сильным отрицательным смещением, так что она потребляет ионный ток насыщения, приближение очень хорошее. Обычно, хотя и не строго необходимо, дальнейшее упрощение уравнения предполагает, что $2\; \chi \; /\; M\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; chi\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; ^\; \{2\}\}$намного больше единицы. Тогда уравнение оболочки принимает простую форму

$\chi \; ″\; =\; M\; (2\; \chi )\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \text{'}\text{'}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; \{(2\; \backslash \; chi)\; ^\; \{1\; /\; 2\}\}\}\}$.

Как и раньше, мы умножаем на $\chi \; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \text{'}\}$и интегрируем, чтобы получить

$1\; 2\; \chi \; \prime \; 2\; =\; M\; (2\; \chi )\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; chi\; \text{'}^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; (2\; \backslash \; chi)\; ^\; \{1/2\}\}$,

или

$\chi \; -\; 1/4\; \chi \; \prime \; =\; 2\; 3/4\; M\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; ^\; \{-\; 1/4\}\; \backslash \; chi\; \text{'}=\; 2\; ^\; \{3/4\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; ^\; \{1\; /\; 2\}\}$.

Это легко интегрировать по ξ, чтобы получить

$4\; 3\; \chi \; w\; 3/4\; =\; 2\; 3/4\; M\; 1/2\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\}\; \backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{w\}\}\; ^\; \{3/4\}\; =\; 2\; ^\; \{3/4\}\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; ^\; \{1/2\}\; d\}$,

где $\chi \; w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{w\}\}\}$- это (нормализованный) потенциал на стенке (относительно края оболочки), а d - толщина оболочки. Вернувшись к переменным $u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{0\}\}$и $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$и отметив, что ионный ток в стене это $J\; =\; en\; 0\; u\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; e\; \backslash ,\; n\_\; \{0\}\; \backslash ,\; u\_\; \{0\}\}$, мы имеем

$J\; =\; 4\; 9\; (2\; emi)\; 1\; /\; 2\; |\; \phi \; w\; |\; 3/2\; 4\; \pi \; d\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{9\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2e\}\; \{m\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; varphi\; \_\; \{w\}\; |\; ^\; \{3/2\}\}\; \{4\; \backslash \; pi\; d\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

Это уравнение известно как закон Чайлда в честь Климента Д. Чайлд (1868–1933), который впервые опубликовал его в 1911 году, или как закон Чайлда-Ленгмюра, удостоив также уважения Ирвинга Ленгмюра, который открыл его независимо и опубликовано в 1913 году. Впервые он был использован для получения тока, ограниченного пространственным зарядом, в вакуумном диоде с расстоянием между электродами d. Его также можно инвертировать, чтобы получить толщину оболочки Дебая как функцию падения напряжения, задав $J\; =\; jionsat\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; j\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ion\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{sat\}\}\}$:

$d\; =\; 2\; 3\; (2\; emi)\; 1/4\; |\; \phi \; w\; |\; 3/4\; 2\; \pi \; jionsat\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2e\}\; \{m\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{i\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/4\}\; \{\backslash \; frac\; \{|\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{w\}\}\; |\; ^\; \{3/4\}\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\; j\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{ion\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{sat\}\}\}\}\}\; \}\}$.

• Амбиполярная диффузия
• Двойной слой (плазма), особенно раздел Токоведущие двойные слои, образованные одиночными пучками с нулевой температурой
• Список плазмы (физика) прикладные статьи

1. ^Ленгмюр, Ирвинг, «Положительные ионные токи из положительного столба ртутных дуг » (1923) Science, Volume 58, Issue 1502, pp. 290-291
2. ^Альберт В. Халл и Ирвинг Ленгмюр, «Контроль дугового разряда с помощью сети », Proc Natl Acad Sci USA. 1929 15 марта; 15 (3): 218–225