Пробел Де Бранжа

В математике пространство де Бранжа (иногда пишется пространство де Бранжа ) является концепцией в функционале анализ и построен на основе функции де Бранжа .

. Концепция названа в честь Луи де Бр Ангела, который доказал многочисленные результаты относительно этих пространств, особенно как гильбертовых пространств, и использовал эти результаты для доказательства гипотезы Бибербаха.

• 1 Функции Де Бранжа
• 2 Определение 1
• 3 Определение 2
• 4 Определение 3
• 5 Как гильбертовы пространства
• 6 Ссылки

A Функция Эрмита-Билера, также известная как de Функция Branges - это целая функция E от $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$до $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\}$, удовлетворяющее неравенству $|\; E\; (z)\; |>|\; E\; (z\; ¯)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; E\; (z)\; |>|\; E\; (\{\backslash \; bar\; \{z\}\})\; |\}$для всех z в верхней половине комплексной плоскости $С\; +\; =\; \{z\; \in \; C\; |\; I\; m\; (z)>0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{+\}\; =\; \backslash \; \{z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; |\; \{\backslash \; rm\; \{Im\}\; \}\; (z)>0\; \backslash \}\}$.

Для данной функции Эрмита-Билера E пространство де Бранжа B (E) определяется как множество всех целых функций F таких, что

$F\; /\; E,\; F\; \#\; /\; E\; \in \; H\; 2\; (C\; +)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; /\; E,\; F\; ^\; \{\backslash \; \#\}\; /\; E\; \backslash \; in\; H\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{+\})\}$

где:

• $C\; +\; =\; \{z\; \in \; C\; |\; Я\; m\; (z)>0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{+\}\; =\; \backslash \; \{z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; |\; \{\backslash \; rm\; \{Im\; (z)\}\}>0\; \backslash \}\}$- это открытая верхняя половина комплексной плоскости.
• $F\; \#\; (z)\; =\; F\; (z\; ¯)\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{\backslash \; \#\}\; (z)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{F\; (\{\backslash \; bar\; \{z\}\})\; \}\}\}$.
• $H\; 2\; (C\; +)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{2\}\; (\backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{+\})\}$- обычное пространство Харди на открытая верхняя полуплоскость.

Пространство де Бранжа также можно определить как все целые функции F, удовлетворяющие всем следующим условиям:

• 
• $|\; (F\; /\; E)\; (z)\; |,\; |\; (F\; \#\; /\; E)\; (z)\; |\; \le \; CF\; (Im\; \; (z))\; (-\; 1/2),\; \forall \; z\; \in \; C\; +\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; (F\; /\; E)\; (z)\; |,\; |\; (F\; ^\; \{\backslash \; \#\}\; /\; E)\; (z)\; |\; \backslash \; leq\; C\_\; \{F\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Im\}\; (z))\; ^\; \{(-\; 1\; /\; 2)\},\; \backslash \; forall\; z\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{+\}\}$

Существует также аксиоматическое описание, полезное в теории операторов.

Дано пространство де Бранжа B (E). Определим скалярное произведение:

$[F,\; G]\; =\; 1\; \pi \; \int \; R\; F\; (\lambda )\; ¯\; G\; (\lambda )\; d\; \lambda \; |\; E\; (\lambda )\; |\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; [F,\; G]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{F\; (\backslash \; lambda)\}\}\; G\; (\backslash \; lambda)\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\; \backslash \; lambda\}\; \{|\; E\; (\backslash \; lambda)\; |\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Можно доказать, что пространство де Бранжа с таким скалярным произведением является гильбертовым пространством.

• Кристиан Ремлинг (2003). «Обратная спектральная теория для одномерных операторов Шредингера: A-функция». Математика. З. 245 : 597–617. doi :10.1007/s00209-003-0559-2.