Альфапедия

Теорема де Бранжа

редактировать

В комплексном анализе, теоремы де Бранж, или гипотезы Бибербаха, является теоремой, которая дает необходимое условие на голоморфную функции для того, чтобы картирований открытого единичного круга в комплексной плоскости инъектива в комплексную плоскость. Его сформулировал Людвиг Бибербах  ( 1916) и окончательно доказал Луи де Бранж  ( 1985).

В заявлении касается коэффициентов Тейлора с п о с одновалентной функцией, т.е. один-к-одному голоморфная функция, которая отображает единичный круг в комплексную плоскость, нормированная, как всегда возможно, так что 0 = 0 и 1 = 1. Это есть функция, определенная на открытом единичном круге, которая является голоморфной и инъективной ( однолистной ) с рядом Тейлора вида

ж ( z ) знак равно z + ∑ п ≥ 2 а п z п . {\ displaystyle f (z) = z + \ sum _ {n \ geq 2} a_ {n} z ^ {n}.}

Такие функции называются однолистными. Затем теорема утверждает, что

| а п | ≤ п для всех  п ≥ 2. {\ displaystyle | a_ {n} | \ leq n \ quad {\ text {для всех}} n \ geq 2.}

Функция Кебе (см. Ниже) - это функция, в которой a n  =  n для всех n, и она однолистная, поэтому мы не можем найти более строгого ограничения на абсолютное значение n- го коэффициента.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Функции Шлихта
  • 2 История
  • 3 - де - доказательство Бранжа
  • 4 См. Также
  • 5 ссылки

Функции Шлихта

Нормализации

а 0 = 0 и а 1 = 1

значит, что

f (0) = 0 и f '(0) = 1.

Это всегда можно получить с помощью аффинного преобразования : начиная с произвольной инъективной голоморфной функции g, определенной на открытом единичном круге, и полагая

ж ( z ) знак равно г ( z ) - г ( 0 ) г ′ ( 0 ) . {\ displaystyle f (z) = {\ frac {g (z) -g (0)} {g '(0)}}.}

Такие функции g представляют интерес, потому что они фигурируют в теореме об отображении Римана.

Функция однолистного типа определяется как аналитическая функция f, которая взаимно однозначна и удовлетворяет условию f (0) = 0 и f '(0) = 1. Семейство однолистных функций - это повернутые функции Кёбе.

ж α ( z ) знак равно z ( 1 - α z ) 2 знак равно ∑ п знак равно 1 ∞ п α п - 1 z п {\ displaystyle f _ {\ alpha} (z) = {\ frac {z} {(1- \ alpha z) ^ {2}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n \ alpha ^ {n-1} z ^ {n}}

с а комплексное числом абсолютного значения 1. Если F является функцией однолистной и | а п | = n для некоторого n ≥ 2, то f - повернутая функция Кебе.

Условий теоремы де Бранжа недостаточно, чтобы показать, что функция однолистна, так как функция

ж ( z ) знак равно z + z 2 знак равно ( z + 1 / 2 ) 2 - 1 / 4 {\ Displaystyle е (г) = г + г ^ {2} = (г + 1/2) ^ {2} -1/4}

показывает: он голоморфен на единичном круге и удовлетворяет | a n | ≤ n для всех n, но это не инъективно, поскольку f (−1/2 +  z) = f (−1/2 -  z).

История

Обзор истории дан Koepf (2007).

Бибербах (1916) доказал | а 2 | ≤ 2, и высказал гипотезу о том, что | а п | ≤ п. Левнер (1917) и Неванлинна (1921) независимо друг от друга доказали гипотезу для звездообразных функций. Затем Чарльз Лёвнер ( Löwner (1923)) доказал | а 3 | ≤ 3, используя уравнение Лёвнера. Его работа использовалась в большинстве более поздних попыток, а также применяется в теории эволюции Шрамма – Лёвнера. Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFLöwner1923 ( справка )

Литтлвуд (1925, теорема 20) доказал, что | а п | ≤ en для всех n, показывая, что гипотеза Бибербаха верна с точностью до множителя e = 2,718... Несколько авторов позже уменьшили константу в неравенстве ниже e.

Если f ( z) = z +... однолистная функция, то φ ( z) = f ( z 2) 1/2 нечетная однолистная функция. Пэли и Литтлвуд  ( 1932) показали, что его коэффициенты Тейлора удовлетворяют b k ≤ 14 для всех k. Они предположили, что 14 можно заменить на 1 как естественное обобщение гипотезы Бибербаха. Гипотеза Литтлвуда – Пэли легко влечет за собой гипотезу Бибербаха, используя неравенство Коши, но вскоре она была опровергнута Фекете и Сегё (1933), которые показали, что существует нечетная однолистная функция с b 5 = 1/2 + exp (−2/3) = 1.013..., и что это максимально возможное значение b 5. Позже Исаак Милин показал, что 14 можно заменить на 1,14, а Хейман показал, что числа b k имеют предел меньше 1, если f не является функцией Кебе (для которой все b 2 k +1 равны 1). Таким образом, предел всегда меньше или равен 1, что означает, что гипотеза Литтлвуда и Пэли верна для всех коэффициентов, кроме конечного числа. Более слабая форма гипотезы Литтлвуда и Пэли была найдена Робертсоном (1936). Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFFeketeSzegö1933 ( справка )

Гипотеза Робертсона утверждает, что если

ϕ ( z ) знак равно б 1 z + б 3 z 3 + б 5 z 5 + ⋯ {\ displaystyle \ phi (z) = b_ {1} z + b_ {3} z ^ {3} + b_ {5} z ^ {5} + \ cdots}

является нечетной функцией однолистна в единичном круге с Ь 1 = 1, то для всех положительных целых чисел п,

∑ k знак равно 1 п | б 2 k + 1 | 2 ≤ п . {\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} | b_ {2k + 1} | ^ {2} \ leq n.}

Робертсон заметил, что его гипотеза все еще достаточно сильна, чтобы влечь за собой гипотезу Бибербаха, и доказал ее для n = 3. Эта гипотеза ввела ключевую идею ограничения различных квадратичных функций коэффициентов, а не самих коэффициентов, что эквивалентно ограничивающим нормам элементы в некоторых гильбертовых пространствах однолистных функций.

Было несколько доказательств гипотезы Бибербаха для некоторых более высоких значений n, в частности доказано Гарабедян и Шиффер (1955) | а 4 | ≤ 4, Одзава (1969) и Педерсон (1968) доказали | 6 | ≤ 6, и Педерсон и Шиффер (1972) доказали | а 5 | ≤ 5. Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFGarabedianSchiffer1955 ( помощь )Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFOzawa1969 ( справка )Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFPederson1968 ( справка )Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFPedersonSchiffer1972 ( справка )

Хейман (1955) доказал, что предел в п / п существует, и имеет абсолютное значение меньше 1, если F не является функцией Кёба. В частности, это показало, что для любого f может быть не более конечного числа исключений из гипотезы Бибербаха.

В Milin гипотеза утверждает, что для каждой функции однолисты на единичном круге, и для всех положительных целых чисел п,

∑ k знак равно 1 п ( п - k + 1 ) ( k | γ k | 2 - 1 / k ) ≤ 0 {\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {п} (п-к + 1) (к | \ гамма _ {к} | ^ {2} -1 / к) \ Leq 0}

где логарифмические коэффициенты γ n функции f равны

бревно ⁡ ( ж ( z ) / z ) знак равно 2 ∑ п знак равно 1 ∞ γ п z п . {\ displaystyle \ log (е (z) / z) = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ gamma _ {n} z ^ {n}.}

Милин (1977) показал, используя неравенство Лебедева – Милина, что из гипотезы Милина (позже доказанной де Бранжем) следует гипотеза Робертсона и, следовательно, гипотеза Бибербаха.

Наконец, Де Бранж (1985) доказал | а п | ≤ n для всех n. Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFDe_Branges1985 ( справка )

доказательство де Бранжа

Доказательство использует тип гильбертовых пространств из целых функций. Изучение этих пространств превратилось в подполе комплексного анализа, и эти пространства стали называть пространствами де Бранжа. Де Бранж доказал более сильную гипотезу Милина ( Милин, 1971) о логарифмических коэффициентах. Уже было известно, что это подразумевает гипотезу Робертсона ( Robertson 1936) о нечетных однолистных функциях, которая, в свою очередь, как известно, подразумевает гипотезу Бибербаха о однолистных функциях (Bieberbach 1916). Его доказательство использует уравнение Лёвнера, неравенство Аски – Гаспера о многочленах Якоби и неравенство Лебедева – Милина о степенных рядах в степенях. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFMilin1971 ( справка )

Де Бранж свел гипотезу к некоторым неравенствам для многочленов Якоби и проверил первые несколько вручную. Уолтер Гаучи проверил на компьютере больше этих неравенств для де Бранжа (доказав гипотезу Бибербаха для первых 30 или около того коэффициентов), а затем спросил Ричарда Аски, знает ли он о подобных неравенствах. Аски указал, что Аски и Гаспер (1976) доказали необходимые неравенства за восемь лет до этого, что позволило де Бранжу завершить свое доказательство. Первая версия была очень длинной и имела несколько мелких ошибок, которые вызвали некоторый скептицизм, но они были исправлены с помощью членов Ленинградского семинара по геометрической теории функций ( Ленинградское отделение Математического института им. В. А. Стеклова ), когда де Бранж посетил ее в 1984 г.

Де Бранж доказал следующий результат, который при ν = 0 влечет гипотезу Милина (и, следовательно, гипотезу Бибербаха). Предположим, что νgt; −3/2 и σ n - действительные числа для натуральных чисел n с пределом 0 и такие, что

ρ п знак равно Γ ( 2 ν + п + 1 ) Γ ( п + 1 ) ( σ п - σ п + 1 ) {\ displaystyle \ rho _ {n} = {\ frac {\ Gamma (2 \ nu + n + 1)} {\ Gamma (n + 1)}} (\ sigma _ {n} - \ sigma _ {n + 1})}

неотрицательна, невозрастающая и имеет предел 0. Тогда для всех функций отображения Римана F ( z) =  z  +... однолистна в единичном круге с

F ( z ) ν - z ν ν знак равно ∑ п знак равно 1 ∞ а п z ν + п {\ displaystyle {\ frac {F (z) ^ {\ nu} -z ^ {\ nu}} {\ nu}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ { \ nu + n}}

максимальное значение

∑ п знак равно 1 ∞ ( ν + п ) σ п | а п | 2 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (\ nu + n) \ sigma _ {n} | a_ {n} | ^ {2}}

достигается функцией Кебе z / (1 -  z) 2.

Упрощенная версия доказательства была опубликована в 1985 году Карлом Фитцджеральдом и Кристианом Поммеренке ( FitzGerald amp; Pommerenke (1985)), а еще более короткое описание - Якобом Коревааром ( Korevaar (1986)).

Смотрите также

использованная литература

Последняя правка сделана 2023-04-16 11:46:08
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте