Число Каллена

В математике число Каллена является членом натуральное число последовательность формы $n\; \cdot \; 2\; n\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; cdot\; 2\; ^\; \{n\}\; +1\}$(написано $С\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\}$). Числа Каллена были впервые изучены Джеймсом Калленом в 1905 году. Числа являются частными случаями чисел Прота.

В 1976 году Кристофер Хули показал, что естественная плотность натуральных чисел $n\; \le \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; leq\; x\}$, для которых C n является простым числом, имеет порядок o (x) для $x\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$. В этом смысле почти все числа Каллена являются составными. Доказательство Хули было переработано Хироми Суямой, чтобы показать, что оно работает для любой последовательности чисел n · 2 + b, где a и b - целые числа, и, в частности, также для чисел Вудолла. Единственные известные простые числа Каллена - это те, для которых n равно:

141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 ( последовательность A005849 в OEIS ).

Тем не менее, предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Каллена.

По состоянию на март 2020 года наибольшее известное обобщенное простое число Каллена составляет 2805222 * 25 + 1. Оно состоит из 3 921 539 цифр и было обнаружено Томом Гриром, участником PrimeGrid.

Число Каллена C n делится на p = 2n - 1 если p является простым числом вида 8k - 3; кроме того, из маленькой теоремы Ферма следует, что если p нечетное простое число, то p делит C m ( k) для каждого m (k) = (2 - k) (p - 1) - k (для k>0). Также было показано, что простое число p делит C (p + 1) / 2, когда символ Якоби (2 | p) равен −1 и что p делит C (3p - 1) / 2, когда символ Якоби (2 | p) равно +1.

Неизвестно, существует ли простое число p такое, что C p также простое.

Иногда обобщенное основание числа Каллена b определяется как число в форме n × b + 1, где n + 2>b; если простое число может быть записано в этой форме, тогда оно называется обобщенным простым числом Каллена . Числа Вудолла иногда называют числами Каллена второго рода .

Согласно маленькой теореме Ферма, если существует простое число p такое, что n делится на p - 1 и n + 1 делится на p (особенно, когда n = p - 1) и p не делит b, тогда b должно быть сравнимо с 1 по модулю p (поскольку b является степенью b, а b сравнимо с 1 по модулю p). Таким образом, n × b + 1 делится на p, поэтому не является простым. Например, если некоторое n конгруэнтно 2 по модулю 6 (т. Е. 2, 8, 14, 20, 26, 32,...), n × b + 1 простое число, тогда b должно делиться на 3 (кроме b = 1).

Наименьшее число n таких, что n × b + 1 является простым числом (с вопросительными знаками, если этот член в настоящее время неизвестен)

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1,?, 3, 8, 1, 19650, 1, 6460, 3, 2, 1, 4330, 2, 2805222, 117, 2, 1,?, 1, 82960, 5, 2, 25, 304, 1, 36, 3, 368, 1, 1806676, 1, 390, 53, 2, 1,?, 3,?, 9665, 62, 1, 1341174, 3,?, 1072, 234, 1, 220, 1, 142, 1295, 8, 3, 16990, 1, 474, 129897,?, 1, 13948, 1,?, 3, 2, 1161, 12198, 1, 682156, 5, 350, 1, 1242, 26, 186, 3, 2, 1, 298, 14, 101670, 9, 2, 775, 202, 1, 1374, 63, 2, 1,... (последовательность A240234 в OEIS )

.

• Каллен, Джеймс (декабрь 1905 г.), «Вопрос 15897», Educ. Times: 534.
• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Verlag, Section B20, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001.
• Хули, Кристофер (1976), Приложения ситовых методов, Кембриджские трактаты по математике, 70, Cambridge University Press, pp. 115–119, ISBN 0-521-20915-3, Zbl 0327.10044.
• Келлер, Уилфрид (1995), «Новые числа Каллена» (PDF), Математика вычислений, 64(212): 1733–1741, S39 – S46, doi : 10.2307 / 2153382, ISSN 0025-5718, Zbl 0851.11003.

• Крис Колдуэлл, Двадцать лучших: Каллен проста на Prime Pages.
• Главный глоссарий: Калленское число на Prime Pages.
• Вайсштейн, Эрик У. «Число Каллена». MathWorld.
• Cullen Prime: определение и статус (устарело), ​​Cullen Prime Search теперь размещается на PrimeGrid
• Paul Leyland, (Generalized) Cullen and Woodall Numbers