Цепной полный частичный порядок

В математике, в частности теории порядка, a частично упорядоченный набор является полной цепочкой, если каждая цепочка в нем имеет наименьшую верхнюю границу. Это ω-полная, когда каждая возрастающая последовательность элементов (тип счетной цепочки ) имеет наименьшую верхнюю границу; это же понятие может быть распространено на другие мощности цепочек.

• 1 Примеры
• 2 Свойства
• 3 См. также
• 4 Ссылки

Каждые полная решетка цепно-полная. В отличие от полных решеток, цепочки-полные позы относительно распространены. Примеры включают:

• Набор всех линейно независимых подмножеств векторного пространства V, упорядоченных по включению.
• Набор всех частичных функций в наборе, упорядоченном по ограничению.
• Набор всех частичных функций выбора в коллекции непустых множеств, упорядоченных по ограничению.
• Набор все простые идеалы кольца кольца, упорядоченные по включению.
• Множество всех непротиворечивых теорий языка первого порядка.

Poset является завершенным по цепочке тогда и только тогда, когда это заостренный dcpo. Однако для этой эквивалентности требуется аксиома выбора ..

Лемма Цорна утверждает, что если ч.у. имеет верхнюю границу для каждой цепи, то он имеет максимальный элемент. Таким образом, он применяется к полным по цепочкам позициям, но является более общим, поскольку он позволяет цепочкам, которые имеют верхние границы, но не имеют наименьших верхних границ.

Цепно-полные множества также подчиняются теореме Бурбаки – Витта, теореме о неподвижной точке, утверждающей, что, если f является функцией из цепочки, полной ч.у. свойство, что для всех x, f (x) ≥ x, то f имеет неподвижную точку. Эта теорема, в свою очередь, может быть использована для доказательства того, что лемма Цорна является следствием аксиомы выбора .

. По аналогии с пополнением Дедекинда – МакНейла частично упорядоченного множества, каждое частично упорядоченное множество упорядоченный набор может быть однозначно расширен до минимального целого полного набора.

• Полнота (теория порядка)