Биоктонион

редактировать

В математике биоктонион или комплексный октонион - это пара (p, q), где p и q бикватернионы.

Продукт двух биоктонионов определяется с помощью пликации и двусопряженного p → p *:

(p, q) (r, s) = (p r - s ∗ q, s p + q r ∗). {\ displaystyle (p, q) (r, s) = (pr-s ^ {*} q, \ sp + qr ^ {*}).}

{\ displaystyle (p, q) (r, s) = (pr-s ^ {*} q, \ sp + qr ^ {*}).}

Биоктонион z = (p, q) имеет сопряжение z * = (р *, - q).

Тогда норма N (z) биоктониона z равна z z * = p p * + q q *, что представляет собой комплексную квадратичную форму с восемью членами.

Алгебра биоктонионов иногда вводится просто как комплексификация реальных октонионов, но в абстрактной алгебре это результат Конструкция Кэли – Диксона, которая начинается с поля комплексных чисел, тривиальной инволюции и квадратичной формы z. Алгебра биоктонионов является примером алгебры октонионов.

. Для любой пары биоктонионов y и z

N (yz) = N (y) N (z), {\ displaystyle N (yz) = N (y) N (z),}

{\ displaystyle N (yz) = N (y) N (z),}

показывает, что N - квадратичная форма, допускающая композицию, и, следовательно, биоктонионы образуют алгебру композиции.

Сложные октонионы использовались для описания поколений кварки и лептоны.

Литература