В линейной алгебре расширенная матрица представляет собой матрицу полученный путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения одних и тех же операций с элементарной строкой для каждой из заданных матриц.
Даны матрицы A и B, где
расширенная матрица (A | B) записывается как
Это полезно при решении системы линейных уравнений.
Для заданного количества неизвестных количество решений системы линейных уравнений зависит только от ранга матрицы, представляющей систему, и ранга соответствующей расширенной матрица. В частности, согласно теореме Руше – Капелли, любая система линейных уравнений несовместима (не имеет решений), если ранг расширенной матрицы больше, чем ранг матрицы коэффициентов ; если, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен количеству переменных. В противном случае общее решение имеет k свободных параметров, где k - разница между числом переменных и рангом; следовательно, в таком случае решений бесконечно много.
Расширенная матрица также может быть использована для поиска обратной матрицы путем объединения ее с единичной матрицей.
Пусть C будет квадратной матрицей 2 × 2
Чтобы найти обратное C, мы создаем (C | I), где I - 2 × 2 единичная матрица. Затем мы сокращаем часть (C | I), соответствующую C, до единичной матрицы, используя только элементарные операции со строками на (C | I).
правая часть которой является обратной по отношению к исходной матрице.
Рассмотрим систему уравнений
Матрица коэффициентов
и Расширенная матрица:
Поскольку оба они имеют того же ранга, а именно 2, существует хотя бы одно решение; и поскольку их ранг меньше числа неизвестных, последнее равно 3, существует бесконечное число решений.
Для сравнения, рассмотрим систему
Матрица коэффициентов
, а расширенная матрица -
В этом примере матрица коэффициентов имеет ранг 2, а расширенная матрица имеет ранг 3; так что эта система уравнений не имеет решения. Действительно, увеличение количества линейно независимых строк сделало систему уравнений несовместимой .
Как используется в линейной алгебре, расширенная матрица используется для представления коэффициенты и вектор решения каждого набора уравнений. Для системы уравнений
коэффициенты и постоянные члены дают матрицы
и, следовательно, дает расширенную матрицу
Обратите внимание, что ранг матрицы коэффициентов 3, равен рангу расширенной матрицы, поэтому существует по крайней мере одно решение; и поскольку этот ранг равен количеству неизвестных, существует ровно одно решение.
Чтобы получить решение, операции со строками могут быть выполнены над расширенной матрицей, чтобы получить единичную матрицу с левой стороны, что дает
, поэтому решение системы ( х, у, z) = (4, 1, -2).