Тест чередующихся серий

В математическом анализе тест чередующихся серий - это метод, используемый для доказательства того, что чередующийся ряд с элементами, которые уменьшаются по абсолютной величине, является сходящимся рядом. Тест использовался Готфридом Лейбницем и иногда известен как тест Лейбница, правило Лейбница или критерий Лейбница .

• 1 Формулировка
• 2 Доказательство
  • 2.1 Доказательство сходимости
  • 2.2 Доказательство границы ошибки частичной суммы
• 3 Контрпример
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние links

Ряд вида

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; nan\; =\; a\; 0\; -\; a\; 1\; +\; a\; 2\; -\; a\; 3\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{n\}\; =\; a\_\; \{0\}\; -a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; -a\_\; \{3\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash !\}$

где либо все a n положительны, либо все a n отрицательны, называется чередующейся серией.

тест чередующейся серии затем говорит: если $|\; а\; п\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; a\_\; \{n\}\; |\}$уменьшает монотонно и $lim\; n\; \to \; \infty \; an\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; a\_\; \{\; n\}\; =\; 0\}$, то чередующийся ряд сходится.

Кроме того, пусть L обозначает сумму ряда, тогда частичная сумма

$S\; k\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; k\; (-\; 1)\; nan\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{n\}\; \backslash !\}$

приближает L с ошибкой, ограниченной следующим пропущенным членом:

$|\; S\; k\; -\; L\; |\; \le \; |\; S\; k\; -\; S\; k\; +\; 1\; |\; =\; а\; к\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; S\_\; \{k\}\; -L\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\; \backslash \; leq\; \backslash \; left\; |\; S\_\; \{k\}\; -S\_\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; vert\; =\; a\_\; \{k\; +\; 1\}.\; \backslash !\}$

Предположим, нам дан ряд вида $\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n-1\}\; a\_\; \{n\}\; \backslash !\}$, где $lim\; n\; \to \; \infty \; an\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; =\; 0\}$и $an\; \ge \; an\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; geq\; a\_\; \{n\; +\; 1\}\}$для всех натуральных чисел n. (Случай $\sum \; N\; =\; 1\; \infty \; (-\; 1)\; nan\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{n\}\; \backslash !\}$следует отрицательным.)

Доказательство сходимости

Мы докажем, что обе частичные суммы $S\; 2\; m\; +\; 1\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; 2\; m\; +\; 1\; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2m\; +\; 1\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{2m\; +\; 1\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n-1\}\; a\_\; \{n\}\}$с нечетным числом членов и $S\; 2\; m\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; 2\; m\; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2m\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{2m\; \}\; (-\; 1)\; ^\; \{n-1\}\; a\_\; \{n\}\}$с четным числом членов сходятся к тому же числу L. Таким образом, обычная частичная сумма $S\; k\; =\; \sum \; n\; =\; 1\; к\; (-\; 1)\; n\; -\; 1\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{k\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n-1\}\; a\_\; \{n\}\}$также сходится к L.

Нечетные частичные суммы монотонно убывают:

$S\; 2\; (m\; +\; 1)\; +\; 1\; =\; S\; 2\; m\; +\; 1\; -\; a\; 2\; m\; +\; 2\; +\; a\; 2\; m\; +\; 3\; \le \; S\; 2\; м\; +\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\_\; \{2\; (м\; +\; 1)\; +1\}\; =\; S\_\; \{2m\; +\; 1\}\; -a\_\; \{2m\; +\; 2\}\; +\; a\_\; \{2m\; +\; 3\}\; \backslash \; leq\; S\_\; \{2m\; +\; 1\}\}$

в то время как четные частичные суммы монотонно увеличиваются:

$S\; 2\; (m\; +\; 1)\; =\; S\; 2\; m\; +\; a\; 2\; m\; +\; 1\; -\; a\; 2\; m\; +\; 2\; \ge \; S\; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2\; (m\; +\; 1)\}\; =\; S\_\; \{2m\}\; +\; a\_\; \{2m\; +\; 1\}\; -a\_\; \{2m\; +\; 2\}\; \backslash \; geq\; S\_\; \{2m\}\}$

, потому что a n монотонно уменьшается с п.

Кроме того, поскольку a n положительны, $S\; 2\; m\; +\; 1\; -\; S\; 2\; m\; =\; a\; 2\; m\; +\; 1\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2m\; +\; 1\}\; -\; S\_\; \{2m\}\; =\; a\_\; \{2m\; +\; 1\}\; \backslash \; geq\; 0\}$. Таким образом, мы можем собрать эти факты, чтобы сформировать следующее наводящее на размышления неравенство:

$a\; 1\; -\; a\; 2\; =\; S\; 2\; \le \; S\; 2\; m\; \le \; S\; 2\; m\; +\; 1\; \le \; S\; 1\; =\; a\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; -a\_\; \{2\}\; =\; S\_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; S\_\; \{2m\}\; \backslash \; leq\; S\_\; \{2m\; +\; 1\}\; \backslash \; leq\; S\_\; \{1\}\; =\; a\_\; \{1\}.\}$

Теперь обратите внимание что a 1 - a 2 является нижней границей монотонно убывающей последовательности S 2m + 1, тогда из теоремы о монотонной сходимости следует что эта последовательность сходится при стремлении m к бесконечности. Аналогично сходится и последовательность четных частичных сумм.

Наконец, они должны сходиться к одному числу, потому что

$lim\; m\; \to \; \infty \; (S\; 2\; m\; +\; 1\; -\; S\; 2\; m)\; =\; lim\; m\; \to \; \infty \; a\; 2\; m\; +\; 1\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{m\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; (S\_\; \{2m\; +\; 1\}\; -S\_\; \{2m\})\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{m\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; a\_\; \{2m\; +\; 1\}\; =\; 0.\}$

Назовите предел L, то теорема о монотонной сходимости также сообщает нам дополнительную информацию о том, что

$S\; 2\; m\; \le \; L\; \le \; S\; 2\; m\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2m\}\; \backslash \; leq\; L\; \backslash \; leq\; S\_\; \{2m\; +\; 1\; \}\}$

для любого m. Это означает, что частичные суммы чередующегося ряда также «чередуются» выше и ниже конечного предела. Точнее, когда есть нечетное (четное) количество членов, то есть последний член является плюсовым (минусовым) членом, тогда частичная сумма выше (ниже) конечного предела.

Это понимание немедленно приводит к ошибочной границе частичных сумм, показанной ниже.

Доказательство границы ошибки частичной суммы

Мы хотели бы показать $|\; S\; k\; -\; L\; |\; \le \; a\; k\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; S\_\; \{k\}\; -L\; \backslash \; right\; |\; \backslash \; leq\; a\_\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash !\}$путем разделения на два случая.

Когда k = 2m + 1, т.е. нечетное, тогда

$|\; S\; 2\; м\; +\; 1\; -\; L\; |\; Знак\; равно\; S\; 2\; м\; +\; 1\; -\; L\; \le \; S\; 2\; м\; +\; 1\; -\; S\; 2\; м\; +\; 2\; =\; a\; (2\; м\; +\; 1)\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; S\_\; \{2m\; +\; 1\}\; -L\; \backslash \; right\; |\; =\; S\_\; \{\; 2m\; +\; 1\}\; -L\; \backslash \; leq\; S\_\; \{2m\; +\; 1\}\; -S\_\; \{2m\; +\; 2\}\; =\; a\; \_\; \{(2m\; +\; 1)\; +1\}\}$

Когда k = 2m, т.е. четное, тогда

$|\; S\; 2\; м\; -\; L\; |\; Знак\; равно\; L\; -\; S\; 2\; м\; \le \; S\; 2\; м\; +\; 1\; -\; S\; 2\; м\; знак\; равно\; a\; 2\; м\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; S\_\; \{2m\}\; -L\; \backslash \; right\; |\; =\; L-S\_\; \{2m\}\; \backslash \; leq\; S\_\; \{2m\; +\; 1\}\; -S\_\; \{2m\}\; =\; a\_\; \{2m\; +\; 1\}\}$

по желанию.

Оба случая существенно опираются на последнее неравенство, полученное в предыдущем доказательстве.

Для альтернативного доказательства с использованием критерия сходимости Коши см. Переменный ряд.

Для обобщения см. тест Дирихле.

Чтобы заключение было верным, должны быть выполнены все условия теста, а именно сходимость к нулю и монотонность. Например, возьмите ряд

$1\; 2\; -\; 1\; -\; 1\; 2\; +\; 1\; +\; 1\; 3\; -\; 1\; -\; 1\; 3\; +\; 1\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; -\; 1\}\; \}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; +\; 1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; -\; 1\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; +\; 1\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

Знаки меняются, а члены стремятся к нулю. Однако монотонности нет, и мы не можем применить тест. На самом деле серия расходится. Действительно, для частичной суммы $S\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2n\}\}$мы имеем $S\; 2\; n\; =\; 2\; 1\; +\; 2\; 2\; +\; 2\; 3\; +\; \cdots \; +\; 2\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{2n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{n-1\}\}\}$, которая является удвоенной частичной суммой гармонического ряда, который расходится. Следовательно, исходный ряд расходится.

• Переменный ряд
• Тест Дирихле

^На практике первые несколько членов могут увеличиваться. Важно то, что $bn\; \ge \; bn\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{n\}\; \backslash \; geq\; b\_\; \{n\; +\; 1\}\}$для всех $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$после определенного момента.

• Конрад Кнопп (1956) Бесконечные последовательности и серии, § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153- 6
• Конрад Кнопп (1990) Теория и применение бесконечных рядов, § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2
• E. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон (1963) Курс современного анализа, 4-е издание, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3

• Вайсштейн, Эрик У. «Критерий Лейбница». MathWorld.