Преобразование Зака ​​

В математике преобразование Зака ​​представляет собой определенную операцию, которая принимает на входе функцию от одного v ariable и выдает на выходе функцию двух переменных. Выходная функция называется преобразованием Зака ​​входной функции. Преобразование определяется как бесконечный ряд, в котором каждый член является продуктом расширения перевода на целое число функция и экспоненциальная функция . В приложениях преобразования Зака ​​к обработке сигналов входная функция представляет сигнал, а преобразование будет представлять собой смешанное время - частота представление сигнал. Сигнал может быть вещественным или комплексным, определенным на непрерывном наборе (например, действительные числа) или на дискретном наборе (например, целые числа или конечное подмножество целых чисел). Преобразование Зака ​​является обобщением дискретного преобразования Фурье.

Преобразование Зака ​​было открыто несколькими людьми в разных областях и называлось разными именами. Это было названо «отображение Гельфанда», потому что И. Гельфанд ввел его в свою работу по разложению по собственным функциям. Это преобразование было независимо открыто заново Джошуа Заком в 1967 году, который назвал его «представлением k-q». Похоже, что среди экспертов в этой области есть общее согласие называть это преобразованием Зака, поскольку Зак был первым, кто систематически изучил это преобразование в более общих условиях и признал его полезность.

• 1 Непрерывное время Преобразование Зака: Определение
  • 1.1 Определение 1
  • 1.2 Определение 2
  • 1.3 Определение 3
  • 1.4 Определение 4
• 2 Пример
• 3 Свойства преобразования Зака ​​
• 4 Формула обращения
• 5 Дискретное преобразование Зака: определение
  • 5.1 Определение
  • 5.2 Формула обращения
• 6 Приложения
• 7 Ссылки

При определении непрерывного времени Зака, входная функция является функцией действительной переменной. Итак, пусть f (t) - функция действительной переменной t. Преобразование Зака ​​в непрерывном времени функции f (t) является функцией двух действительных переменных, одна из которых - t. Другая переменная может быть обозначена w. Преобразование Зака ​​в непрерывном времени определяется по-разному.

Определение 1

Пусть a - положительная константа. Преобразование Зака ​​функции f (t), обозначаемое Z a [f], является функцией t и w, определяемой как

$Z\; a\; [f]\; (t,\; w)\; =\; a\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; е\; (ат\; +\; ак)\; е\; -\; 2\; \pi \; kwi\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{a\}\; [f]\; (t,\; w)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{a\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (at\; +\; ak)\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; kwi\}\}$.

Определение 2

Частный случай определения 1, полученный путем взятия a = 1, иногда используется как определение Zak преобразовать. В этом частном случае преобразование Зака ​​функции f (t) обозначается Z [f].

$Z\; [е]\; (T,\; вес)\; знак\; равно\; \sum \; К\; =\; -\; \infty \; \infty \; е\; (t\; +\; К)\; е\; -\; 2\; \pi \; kwi\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; [е]\; (т,\; ш)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (t\; +\; k)\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; kwi\}\}$.

Определение 3

Обозначение Z [f] используется для обозначения другой формы Zak преобразовать. В этой форме преобразование Зака ​​для f (t) определяется следующим образом:

$Z\; [f]\; (t,\; \nu )\; =\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; f\; (t\; +\; k)\; e\; -\; k\; \nu \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; [f]\; (t,\; \backslash \; nu)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (t\; +\; k)\; e\; ^\; \{-\; k\; \backslash \; nu\; i\}\}$.

Определение 4

Пусть T - положительная константа. Преобразование Зака ​​для f (t), обозначаемое Z T [f], является функцией t и w, определяемой как

$ZT\; [f]\; (t,\; w)\; =\; T\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; е\; (T\; +\; К\; T)\; е\; -\; 2\; \pi \; квт\; T\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{T\}\; [f]\; (t,\; w)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{T\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (t\; +\; kT)\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; kwTi\}\}$.

Здесь предполагается, что t и w удовлетворяют условиям 0 ≤ t ≤ T и 0 ≤ w ≤ 1 / T.

Преобразование Зака ​​функции

задается как

$Z\; [\varphi ]\; (t,\; w)\; знак\; равно\; е\; -\; 2\; \pi \; \lceil \; -\; T\; \rceil \; wi\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; [\backslash \; phi]\; (t,\; w)\; =\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; lceil\; -t\; \backslash \; rceil\; wi\}\}$

где $\lceil \; -\; t\; \rceil \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lceil\; -t\; \backslash \; rceil\}$обозначает наименьшее целое число не менее $-\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; -t\}$(функция ceil ).

В дальнейшем предполагается, что преобразование Зака ​​соответствует определению 2.

1. Линейность

Пусть a и b - любые действительные или комплексные числа. Тогда

$Z\; [af\; +\; bg]\; (t,\; w)\; =\; a\; Z\; [f]\; (t,\; w)\; +\; b\; Z\; [g]\; (t,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; [af\; +\; bg]\; (t,\; w)\; =\; aZ\; [f]\; (t,\; w)\; +\; bZ\; [g]\; (t,\; w)\}$

2. Периодичность

$Z\; [f]\; (t,\; w\; +\; 1)\; =\; Z\; [f]\; (t,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; [f]\; (t,\; w\; +\; 1)\; =\; Z\; [f]\; (t,\; w)\}$

3. Квазипериодичность

$Z\; [f]\; (t\; +\; 1,\; w)\; =\; e\; 2\; \pi \; wi\; Z\; [f]\; (t,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; [f]\; (t\; +\; 1,\; w)\; =\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; wi\}\; Z\; [f]\; (t,\; w)\}$

4. Спряжение

$Z\; [е\; ¯]\; (t,\; w)\; =\; Z\; [f]\; ¯\; (t,\; -\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; [\{\backslash \; bar\; \{f\}\}]\; (t,\; w)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{Z\; [f]\}\}\; (t,\; -w)\}$

5. Симметрия

Если f (t) четное, то $Z\; [f]\; (t,\; w)\; =\; Z\; [f]\; (-\; t,\; -\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; [f]\; (t,\; w)\; =\; Z\; [f]\; (-\; t,\; -w)\}$

Если f (t) нечетное, то $Z\; [f]\; (t,\; w)\; =\; -\; Z\; [f]\; (-\; t,\; -\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; [f]\; (t,\; w)\; =\; -\; Z\; [f]\; (-\; t,\; -w)\}$

6. Свертка

Пусть $\star \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; star\}$обозначает свертку по переменной t.

$Z\; [е\; \star \; g]\; (t,\; w)\; знак\; равно\; Z\; [f]\; (t,\; w)\; \star \; Z\; [g]\; (t,\; w)\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; [f\; \backslash \; star\; g]\; (t,\; w)\; =\; Z\; [f]\; (t,\; w)\; \backslash \; star\; Z\; [g]\; (t,\; w)\}$

Учитывая преобразование Зака ​​функции, функцию можно восстановить по следующей формуле:

$f\; (t)\; =\; \int \; 0\; 1\; Z\; [f]\; (t,\; w)\; dw.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (t)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; Z\; [f]\; (t,\; w)\; \backslash ,\; dw.\}$

При определении дискретного Зака, входная функция является функцией целочисленной переменной. Итак, пусть f (n) является функцией целочисленной переменной n (n принимает все положительные, нулевые и отрицательные целые числа в качестве значений). Дискретное преобразование Зака ​​функции f (n) является функцией двух действительных переменных, одна из которых является целочисленной переменной n. Другая переменная - это действительная переменная, которую можно обозначить буквой w. Дискретное преобразование Зака ​​также определяется по-разному. Однако ниже дается только одно из определений.

Определение

Дискретное преобразование Зака ​​функции f (n), где n - целочисленная переменная, обозначенная Z [f], определяется как

$Z\; [f]\; (n,\; w)\; знак\; равно\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; f\; (n\; +\; k)\; e\; -\; 2\; \pi \; kwi.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; [f]\; (n,\; w)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n\; +\; k)\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; kwi\}.\}$

Формула обращения

Учитывая дискретное преобразование функции f (n), функция может быть восстановлена ​​по следующей формуле:

$f\; (n)\; =\; \int \; 0\; 1\; Z\; [f]\; (n,\; w)\; dw.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; Z\; [f]\; (n,\; w)\; \backslash ,\; dw.\}$

Преобразование Зака ​​успешно использовалось в физика в квантовой теории поля, в электротехнике в частотно-временном представлении сигналов и в передаче цифровых данных. Преобразование Зака ​​также имеет приложения в математике. Например, он использовался в проблеме представления Габора.