Многогранник Witing

Witting многогранник
символ Шлефли	3{3} 3 {3} 3 {3} 3
диаграмма Кокстера
Ячейки	240 3{3} 3 {3} 3
Грани	2160 3{3}3
Ребра	2160 3{}
Вершины	240
многоугольник Петри	30-угольник
многоугольник Ван Осса	90 3 {4} 3
группа Шепарда	L4= 3[3] 3 [3] 3 [3] 3, порядок 155,520
Двойной многогранник	Самодвойственный
Свойства	Обычный

В 4-мерной сложной геометрии, многогранник Виттинга является правильным комплексным многогранником, названным как: 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 и диаграмма Кокстера . Он имеет 240 вершин, 2160 3 {} ребер, 2160 3{3} 3 граней и 240 3{3} 3 {3} 3 клетки. Он самодвойственный. Каждая вершина принадлежит 27 ребрам, 72 граням и 27 ячейкам, что соответствует многограннику Гессе фигура вершины.

• 1 Симметрия
• 2 Структура
• 3 Координаты
• 4 Конфигурация Виттинга
• 5 Связанный вещественный многогранник
• 6 Соты из многогранников Уиттинга
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

Его симметрия по 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 или , заказ 155 520. Он имеет 240 копий , порядок 648 в каждой ячейке.

Матрица конфигурации : $[240\; 27\; 72\; 27\; 3\; 2160\; 8\; 8\; 8\; 8\; 2160\; 3\; 27\; 72\; 27\; 240]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 240\; 27\; 72\; 27\; \backslash \backslash \; 3\; 2160\; 8\; 8\; \backslash \backslash \; 8\; 8\; 2160\; 3\; \backslash \backslash \; 27\; 72\; 27\; 240\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$

Количество вершин, ребра, грани и ячейки видны по диагонали матрицы. Они вычисляются по порядку группы, деленной на порядок подгруппы, путем удаления некоторых сложных отражений, показанных X ниже. Количество элементов k-граней показано в строках под диагональю. Количество элементов в фигуре вершины и т. Д. Указано в строках над двуугольником.

L4		k-грань	fk	f0	f1	f2	f3	k-цифра	Примечания
L3		()	f0	240	27	72	27	3{3} 3 {3} 3	L4/L3= 216 * 6! / 27/4! = 240
L2L1		3{}	f1	3	2160	8	8	3{3} 3	L4/L2L1= 216 * 6! / 4! / 3 = 2160
		3{3} 3	f2	8	8	2160	3	3{}
L3		3{3} 3 {3} 3	f3	27	72	27	240	()	L4/L3= 216 * 6! / 27/4! = 240

Его 240 вершин имеют координаты в $C\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{C\}\; ^\; \{4\}\}$:

где $\omega \; =\; -\; 1\; +\; i\; 3\; 2,\; \lambda ,\; \nu \; \mu \; =\; 0,\; 1,\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{-1\; +\; i\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\}\; \{2\}\},\; \backslash \; lambda,\; \backslash \; nu,\; \backslash \; mu\; =\; 0,1,2\}$.

Последние 6 точек образуют шестиугольные отверстия на одном из 40 диаметров. Имеется 40 гиперплоскостей, содержащих центральные 3{3} 3 {4} 2, фигуры с 72 вершинами.

Коксетер назвал ее в честь Александра Уиттинга за то, что она является конфигурацией Уиттинга в сложном проективном 3-пространстве:

$[40\; 12\; 12\; 2\; 240\; 2\; 12\; 12\; 40]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 40\; 12\; 12\; \backslash \backslash \; 2\; 240\; 2\; \backslash \backslash \; 12\; 12\; 40\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$или $[40\; 9\; 12\; 4\; 90\; 4\; 12\; 9\; 40]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{smallmatrix\}\; 40\; 9\; 12\; \backslash \backslash \; 4\; 90\; 4\; \backslash \backslash \; 12\; 9\; 40\; \backslash \; end\; \{smallmatrix\}\}\; \backslash \; right]\}$

Конфигурация Уиттинга связана с конечным пространством PG (3,2), состоящий из 85 точек, 357 прямых и 85 плоскостей.

Его 240 вершин являются общими с реальным 8-мерным многогранником 421, . Его 2160 3-кромок иногда рисуются как 6480 простых кромок, что немного меньше, чем 6720 кромок 4 21. Разница в 240 составляет 40 центральных шестиугольников в 4 21, края которых не включены в 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3.

У регулярного многогранника Виттинга есть еще одна ступень в виде 4-мерных сот, . Он имеет многогранник Уиттинга в качестве граней и вершины. Он самодвойственный, и его двойник совпадает с самим собой.

Гиперплоские сечения этой соты включают трехмерные соты .

Сота многогранников Уиттинга имеет реальное представление как 8-мерный многогранник 521, .

Его f-вектор количество элементов пропорционально: 1, 80, 270, 80, 1. Матрица конфигурации для сот:

L5		k-face	fk	f0	f1	f2	f3	f4	k -figure	Notes
L4		()	f0	N	240	2160	2160	240	3{3} 3 { 3} 3 {3} 3	L5/L4= N
L3L1		3{}	f1	3	80N	27	72	27	3{3} 3 {3} 3	L5/L3L1= 80 N
L2L2		3{3} 3	f2	8	8	270N	8	8	3{3} 3	L5/L2L2= 270 N
L3L1		3{3} 3 {3} 3	f3	27	72	27	80N	3	3{}	L5/L3L1= 80 N
L4		3{3} 3 {3} 3 {3} 3	f4	240	2160	2160	240	N	()	L5/L4= N

• Coxeter, HSM и Moser, WOJ; Генераторы и соотношения для дискретных групп (1965), особенно стр. 67–80.
• Кокстер, Х. С. М. ; Регулярные сложные многогранники, Издательство Кембриджского университета, второе издание (1991). pp. 132–5, 143, 146, 152.
• Coxeter, H. S. M. and Shephard, G.C.; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4, (1992), стр. 239–244 [1]