Уравнение Уэвелла

Уравнение Уивелла плоской кривой - это уравнение, которое связывает тангенциальный угол ($\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$) с длиной дуги ($s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$), где тангенциальный угол - это угол между касательной к кривой и осью x, а длина дуги - это расстояние вдоль кривой от фиксированной точки. Эти величины не зависят от используемой системы координат, за исключением выбора направления оси x, так что это внутреннее уравнение кривой, или, менее точно, внутреннее уравнение. Если кривая получается из другой путем трансляции, то их уравнения Уэвелла будут такими же.

Когда отношение является функцией, так что тангенциальный угол задается как функция длины дуги, некоторыми свойствами становится легко управлять. В частности, производная тангенциального угла по длине дуги равна кривизне . Таким образом, взяв производную от уравнения Уивелла, получаем уравнение Чезаро для той же кривой.

Концепция названа в честь Уильяма Уэвелла, который представил ее в 1849 году в статье в Cambridge Philosophical Transactions. В его концепции используемый угол - это отклонение от направления кривой в некоторой фиксированной начальной точке, и это соглашение иногда используется и другими авторами. Это эквивалентно определению, данному здесь, путем добавления константы к углу или поворота кривой.

• 1 Свойства
• 2 Примеры
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Если кривая задана параметрически с точки зрения длины дуги $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, тогда $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$определяется как

$dr\; \to \; ds\; =\; (dx\; /\; dsdy\; /\; ds)\; =\; (cos\; \; \phi \; sin\; \; \phi ),\; поскольку\; |\; d\; r\; \to \; d\; s\; |\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; \{ds\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; dx\; /\; ds\; \backslash \backslash \; dy\; /\; ds\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\; \}\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{Since\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; left\; |\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \{\backslash \; vec\; \{r\}\}\}\; \{ds\}\}\; \backslash \; right\; |\; =\; 1,\}$

, что означает

$dydx\; =\; tan\; \; \phi .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \backslash \; tan\; \backslash \; varphi.\}$

Параметрические уравнения для кривой могут быть получены путем интегрирования:

$x\; =\; \int \; cos\; \; \phi \; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash ,\; ds\}$

$y\; =\; \int \; sin\; \; \phi \; ds\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash ,\; ds\}$

Так как кривизна определяется

$\kappa \; =\; d\; \phi \; ds,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; varphi\}\; \{ds\}\},\}$

уравнение Чезаро легко получается путем дифференцирования уравнения Уивелла.

Кривая	Уравнение
Линия	$\phi \; =\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; =\; c\}$
Circle	$s\; =\; a\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; a\; \backslash \; varphi\}$
Catenary	$s\; =\; a\; tan\; \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; a\; \backslash \; tan\; \backslash \; varphi\}$

• Уэвелл, W. Об внутреннем уравнении кривой и его приложение. Кембриджские философские труды, Vol. VIII, pp. 659-671, 1849. Google Книги
• Тодхантер, Исаак. Уильям Уэвелл, доктор медицины, Отчет о его сочинениях с отрывками из его литературной и научной переписки. Vol. I. Macmillan and Co., 1876, Лондон. Раздел 56: с. 317.
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых. Dover Publications. Стр. 1–5. ISBN 0-486-60288-5.
• Йейтс, Р.К.: Справочник по кривым и их свойствам, Дж. В. Эдвардс (1952), «Внутренние уравнения», стр. 124-5

• Вайсштейн, Эрик У. "Уравнение Уэвелла". MathWorld.