Метод Т-матрицы

редактировать

Метод Т-матрицы представляет собой вычислительную технику рассеяние света несферическими частицами, первоначально сформулированное Питером С. Уотерманом (1928–2012) в 1965 году. Этот метод также известен как метод нулевого поля и метод расширенных границ (EBCM). В этом методе матричные элементы получаются путем согласования граничных условий для решений уравнений Максвелла.

Определение T-матрицы

Падающее и рассеянное электрическое поле раскладывается до сферические векторные волновые функции (SVWF), которые также встречаются в рассеянии Ми. Они являются фундаментальными решениями векторного уравнения Гельмгольца и могут быть сгенерированы из скалярных фундаментальных решений в сферических координатах, сферических функциях Бесселя первого рода и сферические функции Ганкеля. Соответственно, существует два линейно независимых набора решений, обозначенных как $M 1, N 1 {\ displaystyle \ mathbf {M} ^ {1}, \ mathbf {N} ^ {1}}$ $\ mathbf {M} ^ 1, \ mathbf {N} ^ 1$ и $M 3, N 3 {\ displaystyle \ mathbf {M} ^ {3}, \ mathbf {N} ^ {3}}$ $\ mathbf {M} ^ 3, \ mathbf {N} ^ 3$ соответственно. Их также называют регулярными и распространяющимися SVWF соответственно. Таким образом, мы можем записать поле инцидента как

$E i n c = ∑ n = 1 ∞ ∑ m = - n n (a m n M m n 1 + b m n N m n 1). {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {inc} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -n} ^ {n} \ left (a_ {mn} \ mathbf {M } _ {mn} ^ {1} + b_ {mn} \ mathbf {N} _ {mn} ^ {1} \ right).}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {inc} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -n} ^ {n} \ left (a_ {mn} \ mathbf {M} _ {mn} ^ {1} + b_ { mn} \ mathbf {N} _ {mn} ^ {1} \ right).}$

Рассеянное поле расширяется до излучающих SVWF:

$E scat = ∑ n знак равно 1 ∞ ∑ m = - nn (fmn M mn 3 + gmn N mn 3). {\ displaystyle \ mathbf {E} _ {scat} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -n} ^ {n} \ left (f_ {mn} \ mathbf {M } _ {mn} ^ {3} + g_ {mn} \ mathbf {N} _ {mn} ^ {3} \ right).}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {scat} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -n} ^ {n} \ left (f_ {mn} \ mathbf {M} _ {mn} ^ {3} + g_ {mn} \ mathbf {N} _ {mn} ^ {3} \ right).}$

Т-матрица связывает коэффициенты расширения поля инцидента с коэффициентами рассеянное поле.

$(amnbmn) = T (fmngmn) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {mn} \\ b_ {mn} \ end {pmatrix}} = T {\ begin {pmatrix} f_ {mn} \\ g_ {mn} \ end {pmatrix}}}$ $\ begin {pmatrix} a_ {mn} \\ b_ {mn} \ end {pmatrix} = T \ begin {pmatrix} f_ {mn} \\ g_ {mn} \ end {pmatrix}$

Т-матрица определяется формой и материалом рассеивателя, и для данного падающего поля позволяет вычислить рассеянное поле.

Расчет Т-матрицы

Стандартным способом фактического расчета метода Т-матрицы является метод нулевого поля, основанный на уравнениях Страттона-Чу. В основном они утверждают, что электромагнитные поля вне заданного объема могут быть выражены как интегралы по поверхности, охватывающей объем, включая только тангенциальные компоненты полей на поверхности. Если точка наблюдения находится внутри этого объема, интегралы обращаются в нуль.

Используя граничные условия для компонентов тангенциального поля на поверхности рассеивателя $n × (E scat + E inc) = E int {\ displaystyle \ mathbf {n } \ times (\ mathbf {E} _ {scat} + \ mathbf {E} _ {inc}) = \ mathbf {E} _ {int}}$ $\ mathbf {n} \ times (\ mathbf {E} _ {scat} + \ mathbf {E} _ {inc}) = \ mathbf {E} _ {int}$ и $n × (H scat + H inc) знак равно H int {\ displaystyle \ mathbf {n} \ times (\ mathbf {H} _ {scat} + \ mathbf {H} _ {inc}) = \ mathbf {H} _ {int}}$ $\ mathbf {n} \ times (\ mathbf {H} _ {scat} + \ mathbf {H} _ { inc}) = \ mathbf {H} _ {int}$ , где $n {\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf {n}$ - это вектор нормали к поверхности рассеивателя, можно получить интегральное представление рассеянного поле через тангенциальные составляющие внутренних полей на поверхности рассеивателя. Аналогичное представление может быть получено для поля инцидентов.

Расширяя внутреннее поле в терминах SVWF и используя их ортогональность на сферических поверхностях, можно получить выражение для T-матрицы. Числовые коды для оценки T-матрицы можно найти в Интернете [1].

Ссылки