Пружинная система

В машиностроении и физика, пружинная система или пружинная сеть - это физическая модель, описанная как граф с положением в каждой вершине и пружиной заданной жесткости и длины по каждому краю. Это обобщает закон Гука на более высокие измерения. Эта простая модель может быть использована для решения позы статических систем от кристаллической решетки до пружин. Пружинную систему можно рассматривать как простейший случай метода конечных элементов для решения задач в статике. Предполагая линейные пружины и небольшую деформацию (или ограничиваясь одномерным движением), пружинная система может быть представлена ​​как (возможно, переопределенная) система линейных уравнений или, что эквивалентно, как задача минимизации энергии.

Если известно, что номинальная длина L пружин составляет 1 и 2 единицы соответственно, то система может быть решена следующим образом: Рассмотрим простой случай трех узлы соединены двумя пружинами. Тогда растяжение двух пружин задается как функция положения узлов как

$\Delta \; L\; =\; [1\; -\; 1\; 0\; 0\; 1\; -\; 1]\; x\; -\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; mathbf\; \{L\}\; =\; \{\; \backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; -1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -L\}$

Пусть A будет той "матрицей связности", которая связывает каждую степень свободы с направлением, которое тянет каждая пружина в теме. Таким образом, сила на пружинах составляет

$F\; пружины\; =\; -\; K\; \Delta \; L\; =\; -\; K\; (A\; x\; -\; L)\; =\; -\; KA\; x\; +\; KL\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{springs\}\}\; =\; -\; K\; \backslash \; Delta\; L\; =\; -K\; (A\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -L)\; =\; -\; KA\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; KL\}$

, где K - диагональная матрица , задающая жесткости всех пружин. Тогда сила, действующая на узлы, определяется умножением слева на $A\; \top \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; top\}\}$, которое мы устанавливаем равным нулю, чтобы найти равновесие:

$F\; узлов\; =\; -\; A\; \top \; KA\; x\; +\; A\; \top \; KL\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; text\; \{nodes\}\}\; =\; -\; A\; ^\; \{\backslash \; top\}\; KA\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; +\; A\; ^\; \{\backslash \; top\}\; KL\; =\; 0\}$

который дает линейное уравнение:

$A\; \top \; KA\; x\; =\; A\; \top \; KL\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; top\}\; KA\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; A\; ^\; \{\backslash \; top\}\; KL\}$.

Итак, $A\; \top \; KA\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; top\}\; KA\}$является сингулярным, потому что все решения эквивалентны с точностью до перемещения твердого тела. Зададим граничное условие Дирихле, например, $x\; 1\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; =\; 2\}$.

Предположим, что K является тождеством, и поэтому

$A\; \top \; KA\; =\; [1–1\; 0–1\; 2–1\; 0–1\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; top\}\; KA\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 2\; -1\; \backslash \backslash \; 0\; -1\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\; \}\}\}$.

Если мы подключим $x\; 1\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; =\; 2\}$, мы получим

$A\; \top \; KA\; x\; =\; [1\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; 2\; -\; 1\; 0\; -\; 1\; 1]\; [2\; x\; 2\; x\; 3]\; =\; A\; \top \; KL\; =\; [-\; 1\; -\; 1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; top\}\; KA\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 2\; -1\; \backslash \backslash \; 0\; -1\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; x\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; x\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; A\; ^\; \{\backslash \; top\; \}\; KL\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$.

Включение 2 в левую часть дает

$[2\; -\; 2\; 0]\; +\; [-\; 1\; 0\; 2\; -\; 1\; -\; 1\; 1]\; [x\; 2\; x\; 3]\; =\; [-\; 1\; -\; 1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; -\; 2\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; +\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -1\; 0\; \backslash \backslash \; 2\; -1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; x\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -\; 1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$.

и удаление строк системы, которые мы уже знаем, и упрощение, оставляет u s с

$[-\; 2\; 0]\; +\; [2\; -\; 1\; -\; 1\; 1]\; [x\; 2\; x\; 3]\; =\; [-\; 1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -2\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\; \}\; +\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 2\; -1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; x\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$.

$[2\; -\; 1\; -\; 1\; 1]\; [x\; 2\; x\; 3]\; =\; [1\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 2\; -1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; x\_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$.

поэтому затем мы можем решить

$[x\; 2\; x\; 3]\; =\; [2\; -\; 1\; -\; 1\; 1]\; -\; 1\; [1\; 2]\; =\; [3\; 5]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; x\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \; x\_\; \{\; 3\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 2\; -1\; \backslash \backslash \; -\; 1\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 3\; \backslash \backslash \; 5\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$.

То есть, $x\; 1\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; =\; 2\}$, как предписано, и $x\; 2\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\; =\; 3\}$, оставляя первую слабину пружины, и $x\; 3\; =\; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{3\}\; =\; 5\}$, оставляя вторую пружину слабиной.

• Модель гауссовой сети
• Модель анизотропной сети
• Матрица жесткости
• Пружинно-массовая система
• Матрица Лапласа

• Физика источников