Сферический дизайн

A сферический дизайн, часть комбинаторного дизайна теории в математике, представляет собой конечный набор из N точек на d-мерной единице d-сфере S, такой, что среднее значение любого полинома f степени t или меньше на множестве равно среднему значению f в целом сфера (то есть интеграл от f по S, деленный на a rea или measure of S). Такой набор часто называют сферической t- конструкцией, чтобы указать значение t, которое является фундаментальным параметром. Концепция сферического дизайна принадлежит Дельсарту, Геталсу и Зейделу (1977), хотя ранее эти объекты понимались как частные примеры кубатурных формул.

Сферические планы могут иметь значение в теории приближения, в статистике для экспериментального плана, в комбинаторике и в геометрии. Основная проблема состоит в том, чтобы найти примеры с заданными d и t, которые не были бы слишком большими; однако такие примеры могут оказаться трудными. Сферические t-планы также недавно были использованы в квантовой механике в форме квантовых t-планов с различными приложениями в квантовой теории информации и квантовой теории информации. вычисления.

• 1 Наличие сферических конструкций
• 2 См. также
• 3 Внешние ссылки
• 4 Примечания
• 5 Ссылки

Существование структура сферических рисунков на окружности была подробно изучена Хонгом (1982). Вскоре после этого Сеймур и Заславский (1984) доказали, что такие конструкции существуют всех достаточно больших размеров; то есть для заданных натуральных чисел n и t существует такое число N (d, t), что для любого N ≥ N (d, t) существует сферический t-план из N точек в размерности d. Однако их доказательство не дало представления о том, насколько велико N (d, t).

Мимура конструктивно нашла условия с точки зрения количества точек и размера, которые точно характеризуют существование сферических 2-конструкций. Наборы максимальных размеров равноугольных линий (с точностью до идентификации линий как антиподальных точек на сфере) являются примерами сферических 5-конструкций минимального размера. Есть много спорадических маленьких сферических конструкций; многие из них связаны с конечными действиями группы на сфере.

В 2013 году Бондаренко, Радченко и Вязовская получили асимптотическую верхнюю границу для всех натуральных чисел d и t. Это асимптотически соответствует нижней границе, первоначально данной Дельсартом, Гетальсом и Зайделем. Значение C d в настоящее время неизвестно, в то время как точные значения $N\; (d,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; (d,\; t)\}$известны в относительно небольшом количестве случаев..

• Задача Томсона

• Сферические t-планы для различных значений N и t можно найти предварительно рассчитанные на веб-сайте Нила Слоана.

• ; Радченко, Данило; Вязовская, Марина (2013), «Оптимальные асимптотические оценки для сферических планов», Annals of Mathematics, Second Series, 178 (2): 443–452, arXiv : 1009.4407, doi : 10.4007 / annals.2013.178.2.2, MR 3071504.
• Мимура, Йошио (1990), "A построение сферической 2-конструкции », Графы и комбинаторика, 6(4): 369–372, doi : 10.1007 / BF01787704.
• Delsarte, P.; Goethals, J.M.; Зайдель, Дж. Дж. (1977), «Сферические коды и конструкции», Geometriae Dedicata, 6(3): 363–388, MR 0485471. Перепечатано в Зайдель, Дж. Дж. (1991), Геометрия и комбинаторика: Избранные работы Дж. Дж. Зейделя, Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-189420-7, MR 1116326.
• Хонг, Имин (1982), «О сферических t-образных схемах в R », European Journal of Combinatorics, 3(3): 255–258, DOI : 10.1016 / S0195-6698 (82) 80036-X, MR 0679209.
• Сеймур, PD ; Заславский, Томас (1984), «Усредняющие множества: обобщение средних значений и сферических планов», Успехи в математике, 52(3): 213–240, doi : 10.1016 / 0001-8708 (84) 90022-7, MR 0744857.