Задача Томсона

редактировать

Целью задачи Томсона является определение конфигурации минимальной потенциальной электростатической энергии из N электронов, связанных с поверхностью единичной сферы, которые отталкиваются друг от друга с силой, заданной законом Кулона. Физик Дж. Дж. Томсон поставил проблему в 1904 году после того, как предложил атомную модель, позже названную моделью сливового пудинга, основываясь на своих знаниях о существовании отрицательно заряженных электронов внутри нейтралов. заряженные атомы.

Связанные проблемы включают изучение геометрии конфигурации с минимальной энергией и изучение поведения минимальной энергии при больших N.

Содержание

  • 1 Математическое утверждение
    • 1.1 Пример
  • 2 Известные решения
  • 3 Обобщения
  • 4 Связь с другими научными проблемами
  • 5 Конфигурации с наименьшей известной энергией
  • 6 Ссылки
  • 7 Примечания

Математическое утверждение

Физическая система, воплощенная в задаче Томсона, является частным случаем одной из восемнадцати нерешенных математических задач, предложенных математиком Стивом Смейлом - «Распределение точки на двумерной сфере ». Решение каждой проблемы N-электронов получается, когда конфигурация N-электронов, привязанная к поверхности сферы единичного радиуса, r = 1 {\ displaystyle r = 1}r = 1 , дает глобальный потенциальная электростатическая энергия минимум, U (N) {\ displaystyle U (N)}U(N).

Энергия электростатического взаимодействия между каждой парой электронов с одинаковыми зарядами (ei = ej = е {\ displaystyle e_ {i} = e_ {j} = e}e_ {i} = e_ {j} = e , с e {\ displaystyle e}e элементарный заряд электрон) определяется законом Кулона,

U ij (N) = keeiejrij. {\ displaystyle U_ {ij} (N) = k_ {e} {e_ {i} e_ {j} \ over r_ {ij}}.}{\ displaystyle U_ {ij} (N) = k_ {e} {e_ {i} e_ {j} \ over r_ {ij}}.}

Здесь ke {\ displaystyle k_ {e}}k_ {e} - постоянная Кулона и rij = | r i - r j | {\ displaystyle r_ {ij} = | \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {j} |}r_ {ij} = | \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {j} | - расстояние между каждой парой электронов, расположенных в точках на сфере. определяется векторами ri {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}\ mathbf {r} _ {i} и rj {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {j}}\ mathbf {r} _ {j} соответственно.

Упрощенные единицы измерения e = 1 {\ displaystyle e = 1}e = 1 и ke = 1 {\ displaystyle k_ {e} = 1}k_ {e} = 1 используются без потери общности. Тогда

U i j (N) = 1 r i j. {\ displaystyle U_ {ij} (N) = {1 \ over r_ {ij}}.}{\ displaystyle U_ {ij} (N) = {1 \ over r_ {ij}}.}

Полная электростатическая потенциальная энергия каждой N-электронной конфигурации может быть выражена как сумма всех парных взаимодействий

U (N) = ∑ я < j 1 r i j. {\displaystyle U(N)=\sum _{i{\ displaystyle U (N) = \ sum _ {i <j } {\ frac {1} {r_ {ij}}}.}

Глобальная минимизация U (N) {\ displaystyle U (N)}U(N)по всем возможным коллекциям из N различных точек обычно определяется численным алгоритмы минимизации.

Пример

Решение проблемы Томсона для двух электронов получается, когда оба электрона находятся как можно дальше друг от друга по разные стороны от начала координат, rij = 2 r = 2 { \ displaystyle r_ {ij} = 2r = 2}r_ {ij} = 2r = 2 или

U (2) = 1 2. {\ displaystyle U (2) = {1 \ over 2}.}{\ displaystyle U (2) = {1 \ более 2}.}

Известные решения

Схематические геометрические решения математической задачи Томсона для N = 5 электронов.

Минимальные энергетические конфигурации были строго определены только в нескольких случаях.

  • Для N = 1 решение тривиально, так как электрон может находиться в любой точке на поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, поскольку электрон не подвергается действию электрического поля из-за каких-либо других источников заряда.
  • Для N = 2 оптимальная конфигурация состоит из электронов на противоположных направлениях. точек.
  • Для N = 3 электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника около большого круга.
  • Для N = 4 электроны находятся в вершинах правильного тетраэдра.
  • Для N = 5, в 2010 году было сообщено о математически строгом компьютерном решении с электронами, находящимися в вершинах треугольной дипирамиды .
  • Для N = 6 электроны находятся в вершинах правильного октаэдра.
  • Для N = 12, электроны находятся в вершинах правильного икосаэдра.

Примечательно, что геометрические решения задачи Томсона для N = 4, 6 и 12 электронов известны как Платоновы тела с гранями все равносторонние треугольники конгруэнтны. Численные решения для N = 8 и 20 не являются правильными выпуклыми многогранными конфигурациями оставшихся двух Платоновых тел, грани которых квадратные и пятиугольные соответственно.

Обобщения

Можно также спросить об основных состояниях частиц, взаимодействующих с произвольными потенциалами. Чтобы быть математически точным, пусть f будет убывающей функцией с действительным знаком и определим функционал энергии ∑ i < j f ( | x i − x j |) {\displaystyle \sum _{i\ sum _ {i <j} f (| x_ {i} -x_ {j} |)

Традиционно считается, что f (x) = x - α {\ displaystyle f (x) = x ^ {- \ alpha}}f (x) = x ^ {- \ alpha} , также известное как Riesz α {\ displaystyle \ alpha}\ alpha -ядра. Для интегрируемых ядер Рисса см. для неинтегрируемых ядер Рисса выполняется теорема о бублике макового семени, см. Известные случаи включают α = ∞, задачу Таммеса (упаковка); α = 1 - проблема Томсона; α = 0, (чтобы максимизировать произведение расстояний).

Можно также рассмотреть конфигурации из N точек на сфере более высокого измерения. См. сферический дизайн.

Связь с другими научными проблемами

Проблема Томсона является естественным следствием модели сливового пудинга Томсона в отсутствие однородного положительного фонового заряда.

«Ни один факт, открытый об атоме, не может быть тривиальным и не может не ускорить прогресс физической науки, поскольку большая часть натурфилософии является результатом структуры и механизма атома».

- Сэр Дж. Дж. Томсон

Хотя экспериментальные данные привели к отказу от модели сливового пудинга Томсона как от полной модели атома, обнаружено, что нерегулярности, наблюдаемые в численных энергетических решениях задачи Томсона, соответствуют заполнению электронной оболочки в естественных атомах на протяжении всего периода . таблица элементов.

Проблема Томсона также играет роль в исследовании других физических моделей, включая многоэлектронные пузыри и упорядочение поверхности капель жидкого металла, заключенных в Пол ловушки.

Обобщенная проблема Томсона возникает, например, при определении расположения белковых субъединиц, составляющих оболочки сферических вирусов. «Частицы» в этом приложении представляют собой кластеры белковых субъединиц, расположенные на оболочке. Другие реализации включают регулярное расположение коллоидных частиц в коллоидосомах, предложенное для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарства, питательные вещества или живые клетки, фуллерен структуры атомов углерода и теория VSEPR. Примером дальнодействующих логарифмических взаимодействий являются вихри Абрикосова, которые могут образовываться при низких температурах в сверхпроводящей металлической оболочке с большим монополем в центре.

Конфигурации с наименьшей известной энергией

В следующей таблице N {\ displaystyle N}N - количество точек (зарядов) в конфигурации, E 1 {\ displaystyle E_ {1}}E_{1}- энергия, тип симметрии указан в нотации Шенфлиса (см. Точечные группы в трех измерениях ), и ri {\ displaystyle r_ {i}}r_{i}- позиции зарядов. Большинство типов симметрии требуют, чтобы векторная сумма положений (и, таким образом, электрический дипольный момент ) была равна нулю.

Также принято рассматривать многогранник, образованный выпуклой оболочкой точек. Таким образом, vi {\ displaystyle v_ {i}}v_ {i} - это количество вершин, в которых пересекается заданное количество ребер, 'e {\ displaystyle e}e равно общее количество ребер, f 3 {\ displaystyle f_ {3}}f_ {3} - количество треугольных граней, f 4 {\ displaystyle f_ {4}}f_ {4} - количество граней четырехугольника, а θ 1 {\ displaystyle \ theta _ {1}}\ theta _ {1} - наименьший угол, который образует векторы, связанные с ближайшей парой зарядов. Обратите внимание, что длины кромок обычно не равны; таким образом (кроме случаев N = 2, 3, 4, 6, 12 и геодезических многогранников ) выпуклая оболочка только топологически эквивалентна цифре, указанной в последнем столбце.

NE 1 {\ displaystyle E_ {1}}E _ {{1} } Симметрия | ∑ r i | {\ displaystyle \ left | \ sum \ mathbf {r} _ {i} \ right |}{\ displaystyle \ left | \ sum \ mathbf {r} _ {i} \ right |} v 3 {\ displaystyle v_ {3}}v_ {3} v 4 {\ displaystyle v_ {4}}v_4 v 5 {\ displaystyle v_ {5}}v_ {5} v 6 {\ displaystyle v_ {6}}{\ displaystyle v_ {6}} v 7 {\ displaystyle v_ {7}}{\ displaystyle v_ {7}} v 8 {\ displaystyle v_ {8}}{\ displaystyle v_ {8}} е {\ displaystyle e}e f 3 {\ displaystyle f_ {3}}f_ {3} f 4 {\ displaystyle f_ {4}}f_ {4} θ 1 {\ displaystyle \ theta _ {1}}\ theta _ {1} Эквивалентный многогранник
20.500000000D ∞ h {\ displaystyle D _ {\ infty h}}D_ { {\ infty h}} 02180.000 °digon
31.732050808D 3 h {\ displaystyle D_ {3h} }D _ {{3h}} 032120,000 °треугольник
43.674234614T d {\ displaystyle T_ {d}}T_ {d} 0400000640109.471 °тетраэдр
56.474691495D 3 h {\ displaystyle D_ {3h}}D _ {{3h}} 023000096090,000 °треугольная дипирамида
69.985281374O h {\ displaystyle O_ {h}}{\ displaystyle O_ {h}} 0060000128090,000 °октаэдр
714.452977414D 5 h {\ displaystyle D_ {5h}}D _ {{5h}} 00520001510072,000 °пятиугольная дипирамида
819.675287861D 4 d {\ displaystyle D_ {4d} }D _ {{4d}} 0080000168271,694 °квадратная антипризма
925,759986531D 3 h {\ displaystyle D_ {3h}}D _ {{3h}} 00360002114069,190 °треугольная призма с треугольными элементами
1032.716949460D 4 d {\ displaystyle D_ {4d}}D _ {{4d}} 00280002416064.996 °гировидная квадратная дипирамида
1140,596450510C 2 v {\ displaystyle C_ {2v}}C_{{2v}}0,0132196350281002718058,540 °икосаэдр со сжатием ребер
1249.165253058I h {\ displaystyle I_ {h}}I_h 000120003020063.435 °икосаэдр. (геодезическая сфера { 3,5+} 1,0)
1358,853230612C 2 v {\ displaystyle C_ {2v}}C_{{2v}}0,00882036701102003322052,317 °
1469.306363297D 6 d {\ displaystyle D_ {6d}}D _ {6d}} 000122003624052,866 °гиродлинная гексагональная дипирамида
1580.670244114D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D_ {3} 000123003926049,225 °
1692,91165530 2T {\ displaystyle T}T 000124004228048.936 °
17106.050404829D 5 h {\ displaystyle D_ {5h}}D _ {{5h}} 000125004530050.108 °двугиродлинная пятиугольная дипирамида
18120.084467447D 4 d {\ displaystyle D_ {4d}}D _ {{4d}} 00288004832047.534 °
19135.089467557C 2 v {\ displaystyle C_ {2v }}C_{{2v}}0.00013516300145005032144.910 °
20150.881568334D 3 h {\ displaystyle D_ {3h} }D _ {{3h}} 000128005436046,093 °
21167,641622399C 2 v {\ displaystyle C_ {2v}}C_{{2v}}0,001406124011010005738044,321 °
22185.287536149T d {\ displaystyle T_ {d} }T_ {d} 0001210006040043.302 °
23203.930190663D 3 {\ displaystyle D_ {3 }}D_ {3} 0001211006342041.481 °
24223.347074052O {\ displaystyle O}O 000240006032642.065 °курносый куб
25243.812760299C s {\ displaystyle C_ {s} }C_ {s} 0,001021305001411006844139,610 °
26265,133326317C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C_ {2} 0,001919065001214007248038,842 °
27287.302615033D 5 h {\ displaystyle D_ {5h}}D _ {{5h}} 0001215007550039.940 °
28310.491542358T {\ displaystyle T}T 0001216007852037,824 °
29334,634439920D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D_ {3} 0001217008154036,391 °
30359.603945904D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D_ {2} 0001218008456036.942 °
31385.530838063C 3 v {\ displaystyle C_ {3v}}C _ {{3v}} 0,003204712001219008758036,373 °
32412.261274651I h {\ отображает тайл I_ {h}}I_h 0001220009060037,377 °пентакис додекаэдр. (геодезическая сфера {3,5 +} 1,1)
33440.204057448C s {\ displaystyle C_ {s}}C_ {s} 0.004356481001517109260133.700 °
34468.904853281D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D_ {2} 0001222009664033,273 °
35498.569872491C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C_ {2} 0,000419208001223009966033.100 °
36529.122408375D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D_ {2} 00012240010268033,229 °
37560.618887731D 5 h {\ displaystyle D_ {5h}}D _ {{5h}} 00012250010570032,332 °
38593.038503566D 6 d {\ displaystyle D_ {6d}}D _ {6d}} 00012260010872033,236 °
39626.389009017D 3 h {\ displaystyle D_ {3h}}D _ {{3h}} 0001227001117 4032,053 °
40660.675278835T d {\ displaystyle T_ {d}}T_ {d} 00012280011476031.916 °
41695.916744342D 3 h {\ displaystyle D_ {3h}}D _ {{3h}} 00012290011778031,528 °
42732.078107544D 5 h {\ displaystyle D_ {5h}}D _ {{5h}} 00012300012080031,245 °
43769.190846459C 2 v {\ displaystyle C_ {2v}}C_{{2v}}0,0003996680012310012382030,867 °
44807.174263085O h {\ displaystyle O_ {h}}{\ displaystyle O_ {h}} 00024200012072631,258 °
45846.188401061D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D_ {3} 00012330012986030,207 °
46886.167113639T {\ displaystyle T}T 00012340013288029,790 °
47927.059270680C s {\ displaystyle C_ {s}}C_ {s} 0,0024829140014330013488128,787 °
48968.713455344O {\ displaystyle O}O 00024240013280629,690 °
491011.557182654C 3 {\ displaystyle C_ {3}}C_ {3} 0,0015293410012370014194028,387 °
501055.182314726D 6 d {\ displaystyle D_ {6d}}D _ {6d}} 00012380014496029,231 °
511099.819290319D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D_ {3} 00012390014798028,165 °
521145.418964319C 3 {\ displaystyle C_ {3}}C_ {3} 0,00045732700124000150100027,670 °
531191.922290416C 2 v {\ displaystyle C_ {2v}}C_{{2v}}0.0002784690018350015096327,137 °
541239.361474729C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C_ {2} 0,00013787000124200156104027.030 °
551287.772720783C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C_ {2} 0,00039169600124300159106026,615 °
561337.094945276D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D_ {2} 000124400162108026,683 °
571387.383229253D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 000124500165110026,702 °
581438.618250640D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D_ {2} 000124600168112026,155 °
591490.773335279C 2 { \ displaystyle C_ {2}}C_ {2} 0,00015428600144320171114026,170 °
601543.830400976D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D_ {3} 000124800174116025.958 °
611597.941830199C 1 {\ displaystyle C_ {1}}C_ {1} 0,00109171700124900177118025,392 °
621652.909409898D 5 {\ displaystyle D_ {5}}D _ {{5}} 000125000180120025.880 °
631708.879681503D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 000125100183122025,257 °
641765.802577927D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 000125200186124024.920 °
651823.667960264C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00039951500125300189126024,527 °
661882.441525304C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00077624500125400192128024,765 °
671942.122700406D 5 {\ displaystyle D_ {5}}D _ {{5}} 000125500195130024,727 °
682002.874701749D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 000125600198132024,433 °
692064.533483235D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 000125700201134024,137 °
702127.100901551D 2 d {\ displaystyle D_ {2d}}D _ {{2d}} 000125000200128424,291 °
712190. 649906425C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00125676900145520207138023.803 °
722255.001190975I {\ displaystyle I}I 000126000210140024.492 °геодезическая сфера {3,5+} 2,1
732320.633883745C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00157295900126100213142022.810 °
742387.072981838C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00064153900126200216144022.966 °
752454.369689040D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 000126300219146022,736 °
762522.674871841C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00094347400126400222148022,886 °
772591.850152354D 5 {\ displaystyle D_ {5 }}D _ {{5}} 000126500225150023,286 °
782662.046474566T h {\ displaystyle T_ { h}}T _ {{h}} 000126600228152023,426 °
792733.248357479C s {\ displaystyle C_ {s}}C _ {{s}} 0,00070292100126310230152122,636 °
802805.355875981D 4 d {\ displaystyle D_ {4d}}D _ {{4d}} 000166400232152222,778 °
812878.522829664C 2 { \ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00019428900126900237158021,892 °
822952.569675286D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 000127000240160022.206 °
833027.528488921C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00033981500146720243162021,646 °
843103.465124431C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00040197300127200246164021,513 °
853180.361442939C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00041658100127300249166021,498 °
863258.211605713C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00137893200127400252168021,522 °
873337.000750014C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00075486300127500255170021,456 °
883416.720196758D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 000127600258172021,486 °
893497,439018625C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00007089100127700261174021,182 °
903579.091222723D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 000127800264176021.230 °
913661.713699320C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00003322100127900267178021,105 °
923745.291636241D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 000128000270180021,026 °
933829.844338421C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00021324600128100273182020.751 °
943915.309269620D 2 {\ displaystyle D_ {2} }D _ {{2}} 000128200276184020.952 °
954001.771675565C 2 {\ displaystyle C_ {2 }}C _ {{2}} 0,00011663800128300279186020.711 °
964089.154010060C 2 { \ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00003631000128400282188020,687 °
974177.533599622C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00009643700128500285190020,450 °
984266.822464156C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00011291600128600288192020.422 °
994357.139163132C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00015650800128700291194020,284 °
1004448.350634331T {\ displaystyle T}T 000128800294196020,297 °
1014540.590051694D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 000128900297198020.011 °
1024633.736565899D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 000129000300200020.040 °
1034727.836616833C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.00020124500129100303202019,907 °
1044822.876522746D 6 {\ displaystyle D_ {6}}D _ {{6}} 000129200306204019.957 °
1054919.000637616D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 000129300309206019,842 °
1065015.984595705D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 000129400312208019,658 °
1075113.953547724C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00006413700129500315210019,327 °
1085212.813507831C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00043252500129600318212019,327 °
1095312.735079920C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00064729900149320321214019,103 °
1105413.549294192D 6 {\ displaystyle D_ {6}}D _ {{6}} 000129800324216019,476 °
1115515.293214587D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 000129900327218019,255 °
1125618.044882327D 5 {\ displaystyle D_ {5}}D _ {{5}} 0001210000330220019,351 °
1135721.824978027D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 0001210100333222018.978 °
1145826.521572163C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000149772001210200336224018,836 °
1155932.181285777C 3 {\ displaystyle C_ {3}}C _ {{3}} 0,000049972001210300339226018,458 °
1166038.815593579C 2 {\ displaystyl e C_ {2}}C _ {{2}} 0,000259726001210400342228018,386 °
1176146.342446579C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000127609001210500345230018,566 °
1186254.877027790C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000332475001210600348232018.455 °
1196364.347317479C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000685590001210700351234018,336 °
1206474.756324980C s {\ displaystyle C_ {s}}C _ {{s}} 0,001373062001210800354236018,418 °
1216586.121949584C 3 {\ displaystyle C_ {3}}C _ {{3}} 0,000838863001210900357238018,199 °
1226698.374499261I h {\ displaystyle I_ {h}}I _ {{h}} 0001211000360240018,612 °геодезическая сфера {3,5+} 2,2
1236811.827228174C 2 v { \ displaystyle C_ {2v}}C_{{2v}}0,001939754001410720363242017,840 °
1246926.169974193D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 0001211200366244018.111 °
1257041.473264023C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000088274001211300369246017,867 °
1267157.669224867D 4 {\ displaystyle D_ {4}}D _ {{4 }} 0021610080372248017.920 °
1277274.819504675D 5 {\ displaystyle D_ {5}}D _ {{5}} 0001211500375250017.877 °
1287393.007443068C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000054132001211600378252017,814 °
1297512.107319268C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000030099001211700381254017,743 °
1307632.167378912C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000025622001211800384256017,683 °
1317753.205166941C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000305133001211900387258017,511 °
1327875.045342797I {\ displaystyle I}I 0001212000390260017.958 °геодезическая сфера {3,5+} 3,1
1337998.179212898C 3 {\ displaystyle C_ {3}}C _ {{3}} 0,000591438001212100393262017,133 °
1348122.089721194C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000470268001212200396264017,214 °
1358246.909486992D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 0001212300399266017,431 °
1368372.743302539T {\ displaystyle T}T 0001212400402268017,485 °
1378499.534494782D 5 {\ displaystyle D_ {5}}D _ {{5}} 0001212500405270017.560 °
1388627.406389880C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000473576001212600408272016.924 °
1398756.227056057C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000404228001212700411274016.673 °
1408885.980609041C 1 {\ displaystyle C_ {1}}C _ {{1}} 0.000630351001312610414276016,773 °
1419016.615349190C 2 v {\ displaystyle C_ {2v}}C_{{2v}}0,000376365001412601417278016,962 °
1429148.271579993C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000550138001213000420280016,840 °
1439280.839851192C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000255449001213100423282016,782 °
1449414.371794460D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 0001213200426284016,953 °
1459548,928837232C s { \ displaystyle C_ {s}}C _ {{s}} 0,000094938001213300429286016,841 °
1469684.381825575D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 0001213400432288016.905 °
1479820.932378373C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000636651001213500435290016,458 °
1489958.406004270C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000203701001213600438292016.627 °
14910096.859907397C 1 {\ displaystyle C_ {1}}C _ {{1}} 0.000638186001413320441294016.344 °
15010236.196436701T {\ displaystyle T}T 0001213800444296016.405 °
15110376.571469275C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000153836001213900447298016,163 °
15210517.867592878D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 00012140004 50300016,117 °
15310660.082748237D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 0001214100453302016.390 °
15410803.372421141C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000735800001214200456304016.078 °
15510947.574692279C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000603670001214300459306015.990 °
15611092.798311456C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000508534001214400462308015,822 °
15711238.903041156C 2 {\ displaystyle C_ { 2}}C _ {{2}} 0,000357679001214500465310015.948 °
15811385.990186197C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000921918001214600468312015.987 °
15911534.023960956C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,00038145700121470047131401 5.960 °
16011683.054805549D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 0001214800474316015.961 °
16111833.084739465C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0.000056447001214900477318015.810 °
16211984.050335814D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 0001215000480320015,813 °
16312136.013053220C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000120798001215100483322015,675 °
16412288.930105320D 2 {\ displaystyle D_ {2}}D _ {{2}} 0001215200486324015,655 °
16512442.804451373C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000091119001215300489326015,651 °
16612597.649071323D 2 d {\ displaystyle D_ {2d}}D _ {{2d}} 0001614640492328015.607 °
16712753.469429750C 2 {\ displaystyle C_ {2 }}C _ {{2}} 0,000097382001215500495330015,600 °
16812910.212672268D 3 { \displaystyle D_{3}}D _ {{3}} 0001215600498332015.655°
16913068.006451127C s {\displaystyle C_{s}}C _ {{s}} 0.000068102001315510501334015.537°
17013226.681078541D 2 d {\displaystyle D_{2d}}D _ {{2d}} 0001215800504336015.569°
17113386.355930717D 3 {\displaystyle D_{3}}D _ {{3}} 0001215900507338015.497°
17213547.018108787C 2 v {\displaystyle C_{2v}}C_{{2v}}0.000547291001415620510340015.292°
17313708.635243034C s {\displaystyle C_{s}}C _ {{s}} 0.000286544001216100513342015.225°
17413871.187092292D 2 {\displaystyle D_{2}}D _ {{2}} 0001216200516344015.366°
17514034.781306929C 2 {\displaystyle C_{2}}C _ {{2}} 0.000026686001216300519346015.252°
17614199.354775632C 1 {\displaystyle C_{1}}C _ {{1}} 0.000283978001216400522348015.101°
17714364.837545298D 5 {\displaystyle D_{5}}D _ {{5}} 0001216500525350015.269°
17814531.309552587D 2 {\displaystyle D_{2}}D _ {{2}} 0001216600528352015.145°
17914698.754594220C 1 {\displaystyle C_{1}}C _ {{1}} 0.000125113001316510531354014.968°
18014867.099927525D 2 {\displaystyle D_{2}}D _ {{2}} 0001216800534356015.067°
18115036.467239769C 2 {\displaystyle C_{2}}C _ {{2}} 0.000304193001216900537358015.002°
18215206.730610906D 5 { \displaystyle D_{5}}D _ {{5}} 0001217000540360015.155°
18315378.166571028C 1 {\displaystyle C_{1}}C _ {{1}} 0.000467899001217100543362014.747°
18415550.421450311T {\displaystyle T}T 0001217200546364014.932°
18515723.720074072C 2 {\displaystyle C_{2}}C _ {{2}} 0.000389762001217300549366014.775°
18615897.897437048C 1 {\displaystyle C_{1}}C _ {{1}} 0.000389762001217400552368014.739°
18716072.975186320D 5 {\displaystyle D_{5}}D _ {{5}} 0001217500555370014.848°
18816249.222678879D 2 {\displaystyle D_{2}}D _ {{2}} 0001217600558372014.740°
18916426.371938862C 2 {\displaystyle C_{2}}C _ {{2}} 0.0000207320012177005613 74014.671°
19016604.428338501C 3 {\displaystyle C_{3}}C _ {{3}} 0.000586804001217800564376014.501°
19116783.452219362C 1 {\displaystyle C_{1}}C _ {{1}} 0.001129202001317710567378014.195°
19216963.338386460I {\displaystyle I}I 0001218000570380014.819°geodesic sphere {3,5+}3,2
19317144.564740880C 2 {\displaystyle C_{2}}C _ {{2}} 0.000985192001218100573382014.144°
19417326.616136471C 1 {\displaystyle C_{1}}C _ {{1}} 0.000322358001218200576384014.350°
19517509.489303930D 3 {\displaystyle D_{3}}D _ {{3}} 0001218300579386014.375°
19617693.460548082C 2 {\displaystyle C_{2}}C _ {{2}} 0.000315907001218400582388014.251°
19717878.340162571D 5 {\displaystyle D_{5}}D _ {{5}} 0001218500585390014.147°
19818064.262177195C 2 {\displaystyle C_{2}}C _ {{2}} 0.000011149001218600588392014.237°
19918251.082495640C 1 {\displaystyle C_{1}}C _ {{1}} 0.000534779001218700591394014.153°
20018438.842717530D 2 {\displaystyle D_{2}}D _ {{2}} 0001218800594396014,222 °
20118627.591226244C 1 {\ displaystyle C_ {1}}C _ {{1}} 0,001048859001318710597398013,830 °
20218817.204718262D 5 {\ displaystyle D_ {5 }}D _ {{5}} 0001219000600400014,189 °
20319007.981204580C s {\ displaystyle C_ { s}}C _ {{s}} 0.000600343001219100603402013.977 °
20419199.540775603T h {\ displaystyle T_ {h}}T _ {{h}} 0001219200606404014.291 °
21220768.053085964I {\ displaystyle I}I 0001220000630420014,118 °геодезическая сфера {3,5+} 4, 1
21421169.910410375T {\ displaystyle T}T 0001220200636424013,771 °
21621575.596377869D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 0001220400642428013,735 °
21721779.856080418D 5 {\ displaystyle D_ {5}}D _ {{5}} 0001220500645430013.902 °
23224961.252318934T {\ displaystyle T}T 0001222000690460013.260 °
25530264.424251281D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 0001224300759506012,565 °
25630506.687515847T {\ displaystyle T}T 0001224400762508012,572 °
25730749.941417346D 5 {\ displaystyle D_ {5}}D _ {{5}} 0001224500765510012,672 °
27234515.193292681I h {\ displaystyle I_ {h}}I _ {{h}} 0001226000810540012,335 °геодезическая сфера { 3,5+} 3,3
28237147.294418462I {\ displaystyle I}I 0001227000840560012,166 °геодезическая сфера {3,5+} 4,2
29239877.008012909D 5 {\ displaystyle D_ {5 }}D _ {{5}} 0001228000870580011,857 °
30643862.569780797T h {\ displaystyle T_ {h}}T _ {{h}} 0001229400912608011,628 °
31245629.313804002C 2 {\ displaystyle C_ {2}}C _ {{2}} 0,000306163001230000930620011,299 °
31546525.825643432D 3 {\ displaystyle D_ {3} }D _ {{3}} 0001230300939626011.337 °
31747128.310344520D 5 {\ displaystyle D_ {5 }}D _ {{5}} 0001230500945630011,423 °
31847431.056020043D 3 {\ displaystyle D_ { 3}}D _ {{3}} 0001230600948632011,219 °
33452407.728127822T {\ displaystyle T}T 0001232200996664011,058 °
34856967.472454334T h {\ displaystyle T_ {h} }T _ {{h}} 00012336001038692010.721 °
35759999.922939598D 5 {\ displaystyle D_ {5 }}D _ {{5}} 00012345001065710010.728 °
35860341.830924588T {\ displaystyle T}T 00012346001068712010,647 °
37265230.027122557I {\ displaystyle I}I 00012360001110740010,531 °геодезическая сфера {3,5+} 4,3
38268839.426839215D 5 {\ displaystyle D_ {5}}D _ {{5}} 00012370001140760010,379 °
39071797.035335953T h {\ displaystyle T_ {h}}T _ {{h}} 00012378001164776010,222 °
39272546.258370889C 1 {\ displaystyle C_ {1}}C _ {{1}} 00012380001170780010.278 °
40075582.448512213T {\ displaystyle T}T 00012388001194796010.068 °
40276351.192432673D 5 {\ displaystyle D_ {5}}D _ {{5}} 00012390001200800010.099 °
43288353.709681956D 3 {\ displaystyle D_ {3}}D _ {{3}} 00024396120129086009,556 °
44895115.546986209T {\ displaystyle T}T 00024412120133889209,322 °
460100351.763108673T {\ displaystyle T}T 00024424120137491609.297 °
468103920.871715127S 6 {\ displaystyle S_ {6}}S _ {{6}} 00024432120139893209.120 °
470104822.886324279S 6 {\ displaystyle S_ {6}}S _ {{6}} 00024434120140493609,059 °

Согласно предположению, если m = n + 2 {\ displaystyle m = n + 2}{\ displaystyle m = n + 2} , p - многогранник, образованный выпуклой оболочкой из m точек, q - количество граней четырехугольника p, тогда решение для m электронов - f (m): f (m) = 0 n + 3 n - q {\ displaystyle f (m) = 0 ^ {n} + 3n-q}{\ displaystyle f (m) = 0 ^ {n} + 3n-q} .

Ссылки

  1. ^Томсон, Джозеф Джон (март 1904 г.). «О структуре атома: исследование устойчивости и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных через равные промежутки времени по окружности круга; с применением результатов к теории строения атома» (PDF). Философский журнал. Серия 6. 7 (39): 237–265. doi : 10.1080 / 14786440409463107. Архивировано из оригинального (PDF) 13 декабря 2013 года.
  2. ^Смейл, С. (1998). «Математические проблемы следующего века». Математический интеллигент. 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101. doi : 10.1007 / bf03025291.
  3. ^Фёппл, Л. (1912). "Стабильное изменение состояния электроники в атоме". J. Reine Angew. Математика. (141): 251–301..
  4. ^Шварц, Ричард (2010). "5-электронный случай проблемы Томсона". arXiv : 1001.3702 [math.MG ].
  5. ^Юдин, В.А. (1992). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика. 4 (2): 115–121. ; Юдин В.А. (1993). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика. Appl. 3 (1): 75–81. doi : 10.1515 / dma.1993.3.1.75.
  6. ^Андреев, Н.Н. (1996). «Экстремальное свойство икосаэдра». Восток Дж. Приближение. 2 (4): 459–462. MR 1426716, Zbl 0877.51021
  7. ^Ландкоф, Н.С. Основы современной теории потенциала. Перевод с русского А.П. Духовского. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x + 424 стр.
  8. ^Hardin, D.P.; Сафф, Э. Б. Дискретизация многообразий через точки минимальной энергии. Замечает амер. Математика. Soc. 51 (2004), нет. 10, 1186–1194
  9. ^Левин Ю.А. Арензон, Дж. Дж. (2003). «Почему заряды попадают на поверхность: обобщенная проблема Томсона». Europhys. Lett. 63 (3): 415. arXiv : cond-mat / 0302524. Bibcode : 2003EL..... 63..415L. doi : 10.1209 / epl / i2003-00546-1.
  10. ^Сэр Дж. Дж. Томсон, Романская лекция, 1914 г. (Теория атома)
  11. ^Лафэйв-младший, Тим (2013). «Соответствие классической электростатической задачи Томсона и электронной структуры атома». Журнал электростатики. 71 (6): 1029–1035. arXiv : 1403.2591. doi : 10.1016 / j.elstat.2013.10.001.
  12. ^Кевин Браун. «Минэнергетические конфигурации электронов на сфере». Проверено 1 мая 2014.
  13. ^«A008486 Слоана (см. Комментарий от 3 февраля 2017 г.)». Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS. Проверено 8 февраля 2017 г.

Примечания

Последняя правка сделана 2021-06-11 10:33:17
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте