Теорема Сильвермана – Теплица

редактировать

Теорема о методах суммирования

В математике Теорема Сильвермана – Теплица, впервые доказанная Отто Теплицем, является результатом теории суммирования, характеризующей регулярные методы суммирования матриц. Метод суммирования регулярных матриц - это матричное преобразование сходящейся последовательности, которое сохраняет предел .

Бесконечная матрица $(ai, j) i, j ∈ N {\ displaystyle (a_ {i, j}) _ {i, j \ in \ mathbb {N}}}$ $(a _ {{i, j}}) _ {{i, j \ in {\ mathbb {N}}}}$ с сложными -значными записями определяет обычный метод суммирования тогда и только тогда, когда удовлетворяет всем следующим свойствам:

lim i → ∞ ai, j = 0 j ∈ N (каждая последовательность столбцов сходится к 0.) lim i → ∞ ∑ j = 0 ∞ ai, j = 1 (строчные суммы сходятся к 1.) sup i ∑ j = 0 ∞ | а я, j | < ∞ (The absolute row sums are bounded.) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} {\text{(Every column sequence converges to 0.)}}\\[3pt]\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j}=1{\text{(The row sums converge to 1.)}}\\[3pt]\sup _{i}\sum _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j}\vert <\infty {\text{(The absolute row sums are bounded.)}}\end{aligned}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {i \ to \ infty} a_ {i, j} = 0 \ quad j \ in \ mathbb {N} {\ text {(Каждая последовательность столбцов сходится к 0.)}} \ \ [3pt] \ lim _ {i \ to \ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {i, j} = 1 {\ text {(Суммы строк сходятся к 1.)} } \\ [3pt] \ sup _ {i} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} \ vert a_ {i, j} \ vert <\ infty {\ text {(Абсолютные суммы строк ограничено.)}} \ end {align}}}

Пример: суммирование по Чезаро, метод суммирования матриц с

amn = {1 mn ≤ m 0 n>m, {\ displaystyle a_ {mn} = {\ begin {cases} { \ frac {1} {m}} n \ leq m \\ 0 n>m \ end {case}},}

a_{mn}={\begin{cases}{\frac {1}{m}}n\leq m\\0n>m \ end {cases}},

Ссылки

Цитаты

Дополнительные чтение

Toeplitz, Otto (1911) "Über allgemeine lineare Mittelbildungen. " Prace mat.-fiz., 22, 113–118 (оригинал статьи на немецком языке )
Сильверман, Луи Лазарус (1913) «Об определении суммы расходящегося ряда». Исследования Университета Миссури, Математика. Серия I, 1–96
Харди, Г.Х. (1949), Divergent Series, Oxford: Clarendon Press, 43-48.
Boos, Johann (2000). Классические и современные методы суммирования. Нью-Йорк: Оксфорд University Press. ISBN 019850165X.