Фонарь Шварца

Патологический пример, разработанный Германом Шварцем для демонстрации трудности определения площади гладкой поверхности

В математике Фонарь Шварца (также известный как сапог Шварца, в честь математика Германа Шварца ) - патологический пример трудности определения площади гладкого (криволинейная) поверхность как граница площадей многогранников. Рассматриваемая криволинейная поверхность является частью прямоугольного кругового цилиндра . Рассматриваемая дискретная многогранная аппроксимация имеет $2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\}$осевых «срезов». $2\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; 2m\}$вершины размещаются радиально вдоль каждого среза на расстоянии по окружности $\pi \; /\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; m\}$от каждого Другие. Важно отметить, что вершины расположены так, что они сдвигаются по фазе на $\pi \; /\; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; /\; 2m\}$с каждым срезом.

Фонарь Шварца с $2\; n\; =\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\; =\; 6\}$осевыми срезами и $2\; m\; =\; 10\; \{\backslash \; displaystyle\; 2m\; =\; 10\}$радиальными вершин.

Герман Шварц показал в 1880 году, что недостаточно просто увеличить $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, если мы хотим, чтобы площадь многогранника сходилась с площадью поверхности изогнутой поверхности. В зависимости от соотношения $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$площадь фонаря может сходиться с площадью цилиндра, до предела, произвольно большего, чем площадь цилиндра, до бесконечности или, другими словами, расходиться. Таким образом, фонарь Шварца демонстрирует, что простого соединения вписанных вершин недостаточно для обеспечения сходимости площади поверхности.

Анимация схождения фонаря Шварца (или его отсутствия) для различных стратегий уточнения.

Многогранная поверхность похожа на цилиндрический бумажный фонарь.

Сумма углов в каждой вершине равна двум плоским углы ($2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; pi\}$радиан). Как следствие, фонарь Schwarz можно сложить из плоского листа бумаги.

• 1 Отношение к длине дуги и площади поверхности
• 2 История
• 3 Границы площади
• 4 Примечания
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

В работе Архимеда уже выясняется, что длина круга может быть аппроксимирована длиной правильных многогранников, вписанных или описанных в круг. В общем, для гладких или спрямляемых кривых их длина может быть определена как верхняя грань длин вписанных в них многоугольных кривых. Фонарь Шварца показывает, что площадь поверхности не может быть определена как верхняя грань вписанных многогранных поверхностей.

Шварц разработал свою конструкцию как контрпример к ошибочному определению в J. Книга А. Серре «Cours de Calcul Differenceel et Integration», второй том, стр. 296 первого издания или стр. 298 второго издания, в которых говорится:

Soit une part de surface courbe terminee par un contour $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$; nous nommerons aire de cette surface la limite $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$vers laquelletend l'aire d'une surface polyedrale inscrite formee de faces triangulaires et terminee par un contour polygonal $\Gamma \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$для ограничения контура $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$.

Il faut demontrer que la limit $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$existe et qu'elle est independante de la loi suivant laquelle decroissent les faces de la surface polyedrale inscrite '.

На английском языке

Пусть часть криволинейной поверхности заканчивается контуром $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$; мы будем называть площадь этой поверхности пределом $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$, по направлению к которому область вписанной поверхности многогранника образует треугольные грани и заканчивается многоугольным контуром $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$, предел которого является контуром $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$.

Необходимо показать, что предел $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$существует и что он не зависит от закона, согласно которому уменьшаются грани вписанной многогранной поверхности.

Независимо от Шварца Джузеппе Пеано нашел тот же контрпример, когда ученик своего учителя Анджело Дженокки, который уже знал о трудности определения площади поверхности из своего общения со Шварцем. Дженокки сообщил Чарльзу Эрмиту, который в своем курсе использовал ошибочное определение Серре. После запроса подробностей у Шварца, Эрмит пересмотрел свой курс и опубликовал пример во втором издании своих конспектов лекций (1883 г.). Оригинальная заметка Шварца не была опубликована до второго издания его собрания сочинений в 1890 году.

Прямой круговой цилиндр радиуса $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$и высота $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$можно параметризовать в декартовых координатах с помощью уравнений

$x\; =\; r\; cos\; \; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; r\; \backslash \; соз\; (u)\}$

$y\; =\; r\; sin\; \; (u)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; r\; \backslash \; sin\; (u)\}$

$z\; =\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; v\}$

для $0\; \le \; u\; \le \; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; u\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; pi\}$и $0\; \le \; v\; \le \; h\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; v\; \backslash \; leq\; h\}$. Фонарь Шварца представляет собой многогранник с треугольными гранями $4\; m\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 4mn\}$, вписанными в цилиндр.

Вершины многогранника в параметризации соответствуют точкам

$u\; =\; 2\; \mu \; \pi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; mu\; \backslash \; pi\}\; \{m\}\}\}$

$v\; =\; \nu \; часn\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nu\; h\}\; \{n\}\}\}$

и точки

$u\; =\; (2\; \mu \; +\; 1)\; \pi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; (2\; \backslash \; mu\; +1)\; \backslash \; pi\}\; \{m\}\}\}$

$v\; =\; (2\; \nu \; +\; 1)\; час\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2\; \backslash \; nu\; +1)\; h\}\; \{2n\}\; \}\}$

с $\mu \; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots ,\; m\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots,\; m-1\}$и $\nu \; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots ,\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; =\; 0,1,2,\; \backslash \; ldots,\; n-1\}$. Все грани представляют собой равнобедренные треугольники , конгруэнтные друг другу. Основание и высота каждого из этих треугольников имеют длину

$2\; r\; sin\; \; (\pi \; m)\; и\; r\; 2\; [1\; -\; cos\; \; (\pi \; m)]\; 2\; +\; (h\; 2\; n)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2r\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{h\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

соответственно. Это дает общую площадь поверхности фонаря Schwarz

$S\; (m,\; n)\; =\; 4\; mnr\; sin\; \; (\pi \; m)\; 4\; r\; 2\; sin\; 4\; \; (\pi \; 2\; m)\; +\; (h\; 2\; n)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (m,\; n)\; =\; 4mnr\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{m\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; sqrt\; \{4r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{4\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \}\; \{2m\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{h\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

Упрощение синусов, когда $m\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$

$S\; (м,\; n)\; \simeq \; 4\; \pi \; nr\; (\pi \; 2\; r\; 2\; м\; 2)\; 2\; +\; (час\; 2\; n)\; 2\; =\; 2\; \pi \; r\; (\pi \; 2\; rnm\; 2)\; 2\; +\; час\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (m,\; n)\; \backslash \; simeq\; 4\; \backslash \; pi\; nr\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; r\}\; \{2m\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{h\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 2\; \backslash \; pi\; r\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; r\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{m\; ^\; \{2\}\})\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; h\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

Из этой формулы следует, что:

1. Если $n\; =\; am\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; am\}$для некоторой константы $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, тогда $S\; (m,\; am)\; \to \; 2\; \pi \; rh\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (m,\; am)\; \backslash \; to\; 2\; \backslash \; pi\; rh\}$когда $m\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$. Этот предел представляет собой площадь поверхности цилиндра, в который вписан фонарь Шварца.
2. Если $n\; =\; am\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; am\; ^\; \{2\}\}$для некоторых константа $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, тогда $S\; (m,\; am\; 2)\; \to \; 2\; \pi \; r\; \pi \; 4\; r\; 2\; a\; 2\; +\; h\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (m,\; am\; ^\; \{2\})\; \backslash \; to\; 2\; \backslash \; pi\; r\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{4\}\; r\; ^\; \{2\}\; a\; ^\; \{2\}\; +\; h\; ^\; \{2\}\}\}\}$когда $m\; \to \; \infty \; \{\backslash \; Displaystyle\; м\; \backslash \; к\; \backslash \; infty\}$. Этот предел зависит от значения $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и может быть равен любому числу не меньше площади цилиндра $2\; r\; \pi \; h\; \{\backslash \; displaystyle\; 2r\; \backslash \; pi\; h\}$.
3. Если $n\; =\; am\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; am\; ^\; \{3\}\}$, то $S\; (m,\; am\; 3)\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\; m,\; am\; ^\; \{3\})\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$as $m\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$.

• Schwarz, HA (1890). Gesammelte Mathematische Abhandlungen von H. A. Schwarz. Verlag von Julius Springer. С. 309–311. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Дубровский, Владимир (1991). «В поисках определения площади поверхности». Quantum. Стр. 6-9 и 64. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

• https://www.cut-the-knot.org/Outline/Calculus/SchwarzLantern.shtml
• Статья в Schwarz Собрание сочинений
• Статья В. Дубровского.
• Статья Фриды Замес.