Неравенство Самуэльсона

В статистике, неравенство Самуэльсона, названный в честь экономиста Пола Самуэльсона, также называется неравенство Лагерра-Самуэльсона, после того, как математик Лагерр, утверждает, что каждый из любой коллекции х 1,...,  х п, находится в пределах √ п  - 1 нескорректированные стандартные отклонения выборки их выборочного среднего.

• 1 Формулировка неравенства
• 2 Сравнение с неравенством Чебышева
• 3 Приложения
• 4 Связь с многочленами
• 5 ссылки

Если мы позволим

${\ displaystyle {\ overline {x}} = {\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}$

быть выборочным средним и

${\ displaystyle s = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}}) ^ {2}} }}$

стандартное отклонение выборки, тогда

${\ displaystyle {\ overline {x}} - s {\ sqrt {n-1}} \ leq x_ {j} \ leq {\ overline {x}} + s {\ sqrt {n-1}} \ qquad { \ text {for}} j = 1, \ dots, n.}$

Равенство слева (или справа) выполняется тогда и только тогда, когда все n  - 1 s, кроме, равны друг другу и больше (меньше), чем${\ displaystyle x_ {j}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle x_ {j}.}$

Если вы вместо этого определите, то неравенство станет${\ displaystyle s = {\ sqrt {{\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}}) ^ {2 }}}}$${\ displaystyle {\ overline {x}} - s {\ sqrt {n}} \ leq x_ {j} \ leq {\ overline {x}} + s {\ sqrt {n}} \ qquad {\ text {для }} j = 1, \ точки, n.}$

Неравенство Чебышева помещает определенную часть данных в определенные границы, а неравенство Самуэльсона помещает все точки данных в определенные границы.

На границы, задаваемые неравенством Чебышева, не влияет количество точек данных, в то время как для неравенства Самуэльсона границы ослабляются по мере увеличения размера выборки. Таким образом, для достаточно больших наборов данных неравенство Чебычева более полезно.

Неравенство Самуэльсона можно рассматривать как причину, по которой студенизацию остатков следует проводить извне.

Самуэльсон не был первым, кто описал это соотношение: первым, вероятно, был Лагер в 1880 году, когда он исследовал корни (нули) многочленов.

Рассмотрим многочлен со всеми действительными корнями:

${\ displaystyle a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {n-1} x + a_ {n} = 0}$

Без ограничения общности пусть ${\ displaystyle a_ {0} = 1}$

${\ displaystyle t_ {1} = \ sum x_ {i}}$ и ${\ displaystyle t_ {2} = \ sum x_ {i} ^ {2}}$

Затем

${\ displaystyle a_ {1} = - \ sum x_ {i} = - t_ {1}}$

и

${\ displaystyle a_ {2} = \ sum x_ {i} x_ {j} = {\ frac {t_ {1} ^ {2} -t_ {2}} {2}} \ qquad {\ text {where}} я lt;j}$

По коэффициентам

${\ displaystyle t_ {2} = a_ {1} ^ {2} -2a_ {2}}$

Лагер показал, что корни этого многочлена ограничены

${\ displaystyle -a_ {1} / n \ pm b {\ sqrt {n-1}}}$

куда

${\ displaystyle b = {\ frac {\ sqrt {nt_ {2} -t_ {1} ^ {2}}} {n}} = {\ frac {\ sqrt {na_ {1} ^ {2} -a_ { 1} ^ {2} -2na_ {2}}} {n}}}$

Осмотр показывает, что это среднее значение корней, а b - стандартное отклонение корней. ${\ displaystyle - {\ tfrac {a_ {1}} {n}}}$

Лагер не заметил этой связи со средними и стандартными отклонениями корней, его больше интересовали сами границы. Это соотношение позволяет быстро оценить границы корней и может быть использовано для определения их местоположения.

Когда коэффициенты и равны нулю, невозможно получить информацию о местонахождении корней, потому что не все корни являются действительными (как видно из правила знаков Декарта ), если постоянный член также не равен нулю. ${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {2}}$