Многочлены Романовского

редактировать

В математике многочлены Романовского являются одним из трех конечных подмножеств реальных ортогональных полиномы, открытые Всеволодом Романовским (Романовский во французской транскрипции) в контексте функций распределения вероятностей в статистике. Они образуют ортогональное подмножество более общего семейства малоизвестных многочленов Рауса, введенных Эдвардом Джоном Раусом в 1884 году. Термин многочлены Романовского был предложен Рапозо со ссылкой на так называемые «псевдоякоби-полиномы» в схеме классификации Лески. Кажется более последовательным называть их многочленами Романовского – Рауса по аналогии с терминами Романовского – Бесселя и Романовски – Якоби, используемыми Лески для двух других наборы ортогональных многочленов.

В некотором отличие от стандартных классических ортогональных многочленов рассматриваемые многочлены различаются тем, что для произвольных параметров только конечное их число ортогонально, как более подробно обсуждается ниже.

Содержание

1 Дифференциальное уравнение для многочленов Романовского
2 Связь между полиномами Романовского и Якоби
3 Свойства многочленов Романовского
- 3.1 Явное построение
- 3.2 Ортогональность
- 3.3 Производящая функция
4 Повторяющиеся соотношения
5 См. Также
6 Ссылки

Дифференциальное уравнение для полиномов Романовского

Полиномы Романовского решают следующую версию гипергеометрического дифференциального уравнения

s (x) R n (α, β) ″ (x) + t 1 (α, β) (x) R n (α, β) ′ (x) + λ n R n (α, β) (x) = 0, x ∈ (- ∞, + ∞), s (x) = (1 + x 2), t 1 (α, β) (x) = 2 β x + α, λ n = - n (2 β + n - 1). {\ displaystyle {\ begin {align} s (x) {R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)}} '' (x) + t_ {1} ^ {(\ alpha, \ beta)} ( x) {R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)}} '(x) + \ lambda _ {n} R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = 0, \ \ [4pt] \ qquad x \ in (- \ infty, + \ infty), \ quad s (x) = \ left (1 + x ^ {2} \ right), \ quad t_ {1} ^ {( \ alpha, \ beta)} (x) = 2 \ beta x + \ alpha, \ quad \ lambda _ {n} = - n (2 \ beta + n-1). \ end {align}}}

{\begin{aligned}s(x){R_{n}^{(\alpha,\beta)}}''(x)+t_{1}^{(\alpha,\beta)}(x){R_{n}^{(\alpha,\beta)}}'(x)+\lambda _{n}R_{n}^{(\alpha,\beta)}(x)=0,\\[4pt]\qquad x\in (-\infty,+\infty),\quad s(x)=\left(1+x^{2}\right),\quad t_{1}^{(\alpha,\beta)}(x)=2\beta x+\alpha,\quad \lambda _{n}=-n(2\beta +n-1).\end{aligned}}

( 1)

Любопытно, что они были исключены из стандартных учебников по специальным функциям в математической физике и математике и относительно редко встречаются в других материалах математической литературы.

весовые функции равны

w (α, β) (x) = (1 + x 2) β - 1 exp ⁡ (- α arccot ​​⁡ x); {\ displaystyle w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {\ beta -1} \ exp \ left (- \ alpha \ operatorname {arccot } x \ right);}

{\ displaystyle w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {\ beta -1} \ exp \ left (- \ alpha \ operatorname {arccot} x \ right) ;}

(2)

они решают дифференциальное уравнение Пирсона

[s (x) w (x)] ′ = t (x) w (x), s (x) = 1 + Икс 2, {\ Displaystyle [s (x) w (x)] '= t (x) w (x), \ quad s (x) = 1 + x ^ {2},}

[s(x) w(x)]' = t(x) w(x), \quad s(x)=1+x^2,

(3)

, который обеспечивает самосопряженность дифференциального оператора гипергеометрического обыкновенного дифференциального уравнения.

Для α = 0 и β < 0, the weight function of the Romanovski polynomials takes the shape of the распределение Коши, откуда Многочлены также обозначаются как многочлены Коши в их приложениях в теории случайных матриц.

Формула Родригеса определяет многочлен R. n(x) как

R n (α, β) (x) = N N 1 вес (α, β) (Икс) dndxn (вес (α, β) (x) s (x) n), 0 ≤ N, {\ Displaystyle R_ {n} ^ {(\ альфа, \ бета)} (x) = N_ {n} {\ frac {1} {w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x)}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d } x ^ {n}}} \ left (w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) s (x) ^ {n} \ right), \ quad 0 \ leq n,}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = N_ {n} {\ frac {1} {w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x)}} { \ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} \ left (w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) s (x) ^ {n } \ right), \ quad 0 \ leq n,}

(4)

где N n - константа нормализации. Эта константа связана с коэффициентом c n члена степени n в полиноме R. n(x) выражением

N n = (- 1) n n! сп ∏ К знак равно 0 N - 1 λ N (К), λ N = - N (tn (α, β) ′ + 1 2 (n - 1) s ″ (x)), {\ Displaystyle N_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n} n! \, c_ {n}} {\ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ lambda _ {n} ^ {(k)}}}, \ quad \ lambda _ {n} = - n \ left ({t_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)}} '+ {\ tfrac {1} {2}} (n-1) s' '(x) \ right),}

N_{n}={\frac {(-1)^{n}n!\,c_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}\lambda _{n}^{(k)}}},\quad \lambda _{n}=-n\left({t_{n}^{(\alpha,\beta)}}'+{\tfrac {1}{2}}(n-1)s''(x)\right),

(5)

что справедливо для n ≥ 1.

Связь между полиномами Романовского и Якоби

Как показано Аски, это Конечная последовательность вещественных ортогональных многочленов может быть выражена через многочлены Якоби мнимого аргумента и поэтому часто упоминается как комплексифицированные многочлены Якоби. А именно, уравнение Романовского (1) может быть формально получено из уравнения Якоби,

(1 - x 2) P n (γ, δ) ″ (x) + t 1 (γ, δ) (x) P n (γ, δ) ′ (x) + λ n P n (γ, δ) (x) = 0, t 1 (γ, δ) (x) = δ - γ - (γ + δ + 2) x, λ N знак равно N (N + γ + δ + 1), x ∈ [- 1, 1], {\ displaystyle {\ begin {align} \ left (1-x ^ {2} \ right) {P_ { n} ^ {(\ gamma, \ delta)}} '' (x) + t_ {1} ^ {(\ gamma, \ delta)} (x) {P_ {n} ^ {(\ gamma, \ delta) }} '(x) + \ lambda _ {n} P_ {n} ^ {(\ gamma, \ delta)} (x) = 0, \\ [4pt] \ qquad t_ {1} ^ {(\ gamma, \ delta)} (x) = \ delta - \ gamma - (\ gamma + \ delta +2) x, \ quad \ lambda _ {n} = n (n + \ gamma + \ delta +1), \ quad x \ in \ left [-1,1 \ right], \ end {align}}}

{\begin{aligned}\left(1-x^{2}\right){P_{n}^{(\gamma,\delta)}}''(x)+t_{1}^{(\gamma,\delta)}(x){P_{n}^{(\gamma,\delta)}}'(x)+\lambda _{n}P_{n}^{(\gamma,\delta)}(x)=0,\\[4pt]\qquad t_{1}^{(\gamma,\delta)}(x)=\delta -\gamma -(\gamma +\delta +2)x,\quad \lambda _{n}=n(n+\gamma +\delta +1),\quad x\in \left[-1,1\right],\end{aligned}}

(6)

с помощью замен для действительного x,

x → ix, ddx → - iddx, γ знак равно δ ∗ = β - 1 + α я 2, {\ Displaystyle х \ к ix, \ quad {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}} \ к -i {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}}, \ quad \ gamma = \ delta ^ {\ ast} = \ beta -1 + {\ frac {\ alpha i} {2}}, }

{\ displaystyle x \ to ix, \ quad {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}} \ to -i {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}}, \ quad \ gamma = \ delta ^ {\ ast} = \ beta - 1 + {\ гидроразрыва {\ альфа i} {2}},}

(7)

в этом случае найдется

R n (α, β) (x) знак равно п N (β - 1 + я 2 α, β - 1 - я 2 α) (ix), {\ displaystyle R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = i ^ { n} P_ {n} ^ {\ left (\ beta -1 + {\ frac {i} {2}} \ alpha, \ beta -1 - {\ frac {i} {2}} \ alpha \ right)} (ix),}

{\ Displaystyle R_ {п} ^ {(\ альфа, \ бета)} (х) = i ^ {n} P_ {n} ^ {\ left (\ beta -1 + {\ frac {i} {2}} \ alpha, \ beta -1 - {\ frac {i} {2}} \ alpha \ справа)} (ix),}

(8)

(с подходящим образом выбранными константами нормализации для многочленов Якоби). Комплексные полиномы Якоби справа определены через (1.1) в Kuijlaars et al. (2003), который гарантирует, что (8) - действительные многочлены от x. Поскольку указанные авторы обсуждают условия неэрмитовой (комплексной) ортогональности только для реальных индексов Якоби, совпадение их анализа и определения (8) полиномов Романовского существует только при α = 0. Однако рассмотрение этого особого случая требует более тщательного изучения. за пределы данной статьи. Обратите внимание на обратимость (8) согласно

P n (α, β) (x) = (- i) n R n (i (α - β), 1 2 (α + β) + 1)) (- ix), {\ displaystyle P_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = (- i) ^ {n} R_ {n} ^ {\ left (i (\ alpha - \ beta), {\ frac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) +1) \ right)} (- ix),}

P ^ {(\ alpha, \ beta)} _ n (x) = (-i) ^ n R ^ {\ left (i (\ alpha- \ beta), \ frac {1} {2} (\ alpha + \ beta) +1) \ right) } _n (-ix),

(9)

где теперь P. n(x) - действительный многочлен Якоби и

R n (i (α - β), 1 2 (α + β) + 1)) (- ix) {\ displaystyle R_ {n} ^ {\ left (i (\ alpha - \ beta), {\ frac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) +1) \ right)} (- ix)}

R ^ {\ left ( i (\ alpha- \ beta), \ frac {1} {2} (\ alpha + \ beta) +1) \ right)} _ n (-ix)

будет комплексным многочленом Романовского.

Свойства многочленов Романовского

Явное построение

Для вещественных α, β и n = 0, 1, 2,... функция R. n(x) можно определить формулой Родригеса в уравнении (4) как

R n (α, β) (x) ≡ 1 w (α, β) (x) dndxn (w (α, β) (x) s (Икс) N), {\ Displaystyle R_ {п} ^ {(\ альфа, \ бета)} (х) \ экв {\ гидроразрыва {1} {ш ^ {(\ альфа, \ бета)} (х)}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ left (w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) s (x) ^ {n} \ right),}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \ Equiv {\ frac {1} {w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x)}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ {n}} {{\ rm {d}} x ^ {n}}} \ left (w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) s (x) ^ {n} \ right),}

(10)

где w - та же весовая функция, что и в (2), а s (x) = 1 + x - коэффициент второй производной гипергеометрического дифференциального уравнения, как в (1).

Обратите внимание, что мы выбрали константы нормировки N n = 1, что эквивалентно выбору коэффициента наивысшей степени в полиноме, как задано уравнением (5). Он принимает вид

c n = 1 n! ∏ К знак равно 0 N - 1 (2 β (N - К) + N (N - 1) - К (К - 1)), N ≥ 1. {\ Displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} { n!}} \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} {\ bigl (} 2 \ beta (nk) + n (n-1) -k (k-1) {\ bigr)}, \ quad n \ geq 1.}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {n!}} \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} {\ bigl (} 2 \ beta (nk) + n (n-1) -k (k-1) {\ bigr)}, \ quad n \ geq 1.}

(11)

Также обратите внимание, что коэффициент c n не зависит от параметра α, а только от β и, для определенных значений β, c n исчезает (т. Е. Для всех значений

β = k (k - 1) - n (n - 1) 2 (n - k) {\ displaystyle \ beta = {\ frac {k (k-1) -n (n-1)} {2 (nk)}}}

\ beta = \ frac {k (k-1) - n (n-1)} {2 (nk)}

где k = 0,..., n - 1). Это наблюдение создает проблему, которая рассматривается ниже.

Для дальнейшего использования мы явно записываем многочлены степени 0, 1 и 2,

R 0 (α, β) (x) = 1, R 1 (α, β) (x) = 1 w (α, β) (x) (w ′ (α, β) (x) s (x) + s ′ (x) w (α, β) (x)) = t (α, β) ( x) = 2 β x + α, R 2 (α, β) (x) = 1 w (α, β) (x) ddx (s 2 (x) w ′ (α, β) (x) + 2 s (x) s ′ (x) w (α, β) (x)) = 1 w (α, β) (x) ddx (s (x) w (α, β) (x) (t (α, β)) (x) + s ′ (x))) = (2 x + t (α, β) (x)) t (α, β) (x) + (2 + t ′ (α, β) (x)) s (Икс) знак равно (2 β + 1) (2 β + 2) x 2 + 2 (2 β + 1) α x + (2 β + α 2 + 2), {\ displaystyle {\ begin {align} R_ {0} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = 1, \\ [6pt] R_ {1} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = {\ frac {1 } {w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x)}} \ left (w '^ {(\ alpha, \ beta)} (x) s (x) + s' (x) w ^ {( \ alpha, \ beta)} (x) \ right) \\ [6pt] = t ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = 2 \ beta x + \ alpha, \\ [6pt] R_ {2 } ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = {\ frac {1} {w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x)}} {\ frac {\ mathrm {d}} { {\ mathrm {d}} x}} \ left (s ^ {2} (x) w '^ {(\ alpha, \ beta)} (x) + 2s (x) s' (x) w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \ right) \\ = {\ frac {1} {w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x)}} {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}} \ left (s (x) w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \ left (t ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) + s '(x) \ right) \ right) \ \ [6pt] = \ left (2x + t ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \ right) t ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) + \ left (2 + t ' ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) \ right) s (x) \\ [6pt] = (2 \ beta +1) (2 \ beta +2) x ^ {2} +2 (2 \ beta +1) \ alpha x + \ left (2 \ beta + \ alpha ^ {2} +2 \ right), \ end {align}}}

{\begin{aligned}R_{0}^{(\alpha,\beta)}(x)=1,\\[6pt]R_{1}^{(\alpha,\beta)}(x)={\frac {1}{w^{(\alpha,\beta)}(x)}}\left(w'^{(\alpha,\beta)}(x)s(x)+s'(x)w^{(\alpha,\beta)}(x)\right)\\[6pt]=t^{(\alpha,\beta)}(x)=2\beta x+\alpha,\\[6pt]R_{2}^{(\alpha,\beta)}(x)={\frac {1}{w^{(\alpha,\beta)}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s^{2}(x)w'^{(\alpha,\beta)}(x)+2s(x)s'(x)w^{(\alpha,\beta)}(x)\right)\\={\frac {1}{w^{(\alpha,\beta)}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s(x)w^{(\alpha,\beta)}(x)\left(t^{(\alpha,\beta)}(x)+s'(x)\right)\right)\\[6pt]=\left(2x+t^{(\alpha,\beta)}(x)\right)t^{(\alpha,\beta)}(x)+\left(2+t'^{(\alpha,\beta)}(x)\right)s(x)\\[6pt]=(2\beta +1)(2\beta +2)x^{2}+2(2\beta +1)\alpha x+\left(2\beta +\alpha ^{2}+2\right),\end{aligned}}

, которые вместе взяты из формулы Родригеса (10) с ODE Пирсона (3).

Ортогональность

Два многочлена, R. m(x) и R. n(x) с m ≠ n, ортогональны,

∫ - ∞ + ∞ w ( α, β) (Икс) р м (α, β) (Икс) р N (α, β) (х) знак равно 0 {\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} w ^ {( \ alpha, \ beta)} (x) R_ {m} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) R_ {n} ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = 0}

\ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} w ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) R_m ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) R_n ^ {(\ alpha, \ beta)} (x) = 0

(12)

тогда и только тогда, когда,

m + n < 1 − 2 β. {\displaystyle m+n<1-2\beta.}

m + n <1-2 \ beta.

(13)

Другими словами, для произвольных параметров только конечное число полиномов Романовского ортогонально. Это свойство называется конечной ортогональностью. Однако для некоторых частных случаев, в которых параметры определенным образом зависят от полиномиальной степени, может быть достигнута бесконечная ортогональность.

Это случай версии уравнения (1), которая была независимо встречена заново в контексте точной разрешимости квантово-механической проблемы тригонометрического потенциала Розена – Морса и сообщается в Compean Kirchbach (2006). Здесь параметры полинома α и β больше не являются произвольными, а выражаются через параметры потенциала, a и b, и степень n полинома в соответствии с соотношениями

α → α n = 2 bn + 1 + a, β → β n = - (a + n + 1) + 1, n = 0, 1, 2,…, ∞. {\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha \ to \ alpha _ {n} = {\ frac {2b} {n + 1 + a}}, \ quad \ beta \ to \ beta _ {n} = - ( a + n + 1) +1, \ quad n = 0,1,2, \ ldots, \ infty. \ end {align}}}

\ begin { выровнять} \ alpha \ to \ alpha_n = \ frac {2b} {n + 1 + a}, \ quad \ beta \ to \ beta_n = - (a + n + 1) +1, \ quad n = 0,1, 2, \ ldots, \ infty. \ end {align}

(14)

Соответственно, λ n появляется как λ n = −n (2a + n - 1), а весовая функция принимает форму

(1 + x 2) - (a + n + 1) exp ⁡ (- 2 bn + a + 1 arccot ​​⁡ x). {\ displaystyle \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {- (a + n + 1)} \ exp \ left (- {\ frac {2b} {n + a + 1}} \ operatorname { arccot} x \ right).}

{\ displaystyle \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {- (a + n + 1)} \ exp \ left ( - {\ frac {2b} {n + a + 1}} \ operatorname {arccot} x \ right).}

Наконец, одномерная переменная x в Compean Kirchbach (2006) была взята как

x = cot ⁡ (rd), {\ displaystyle x = \ cot \ left ({\ frac {r} {d}} \ right),}

{\ displaystyle x = \ cot \ left ({\ frac { r} {d}} \ right),}

, где r - радиальное расстояние, а $d {\ displaystyle d}$ $d$ - подходящий параметр длины. В Compean и Kirchbach было показано, что семейство многочленов Романовского, соответствующее бесконечной последовательности пар параметров,

(α 1, β 1), (α 2 β 2),…, (α n β n), …, N ⟶ ∞, {\ displaystyle \ left (\ alpha _ {1}, \ beta _ {1} \ right), \ left (\ alpha _ {2} \ beta _ {2} \ right), \ ldots, \ left (\ alpha _ {n} \ beta _ {n} \ right), \ ldots, \ quad n \ longrightarrow \ infty,}

{\ displaystyle \ left (\ alpha _ {1}, \ beta _ {1} \ right), \ left (\ alpha _ {2} \ beta _ {2} \ right), \ ldots, \ left (\ alpha _ {n} \ beta _ {n} \ right), \ ldots, \ quad n \ longrightarrow \ infty,}

(15)

ортогонален.

Производящая функция

В Вебере (2007) многочлены Q. ν(x), с β n + n = −a и дополняющие R. n(x) были изучены, сформированы следующим образом:

Q ν (α n, β n + n) (x) = 1 w (α n, β n + n - ν) d ν dx ν w ( α n, β n) (x) (1 + x 2) n. {\ displaystyle Q _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n \ right)} (x) = {\ frac {1} {w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)}}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {\ nu}} {{\ mathrm {d}} x ^ {\ nu}}} w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} \ right)} (x) \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {n}. }

{\ displaystyle Q _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n \ right)} (x) = {\ frac {1} {w ^ { \ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)}}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {\ nu}} {{\ mathrm {d }} x ^ {\ nu}}} w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} \ right)} (x) \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {n}.}

(16)

С учетом соотношения

w (α n, β n) (x) (1 + x 2) δ = w (α n, β n + δ) ( х), {\ displaystyle w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} \ right)} (x) \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {\ delta} = w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + \ delta \ right)} (x),}

{\ displaystyle w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} \ right)} (x) \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {\ delta} = w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + \ delta \ right)} (x),}

(17)

Уравнение (16) становится эквивалентным

Q ν (α n, β n + n) (x) = 1 w (α n, β n + n - ν) d ν dx ν w (α n, β n + n - ν) (x) (1 + Икс 2) ν знак равно р ν (α N, β N + N - ν) (x), {\ displaystyle {\ begin {align} Q _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n \ right)} (x) = {\ frac {1} {w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ справа)}}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {\ nu}} {{\ mathrm {d}} x ^ {\ nu}}} w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x) \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {\ nu} \\ [4pt] = R _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x), \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} Q _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n \ right)} (x) = {\ frac {1} {w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n - \ nu \ right)}}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^ {\ nu}} {{\ mathrm {d}} x ^ {\ nu}}} w ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x) \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {\ nu} \\ [4pt] = R_ { \ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x), \ end {align}}}

(18)

и таким образом связывает дополнительные с основными многочленами Романовского.

Основная привлекательность дополнительных полиномов заключается в том, что их производящая функция может быть вычислена в замкнутой форме. Такая производящая функция , записанная для полиномов Романовского на основе уравнения (18) с параметрами в (14) и, следовательно, относящаяся к бесконечной ортогональности, была введена как

G (α n, β n) (x, y) = ∑ ν = 0 ∞ R ν (α n, β n + n - ν) (x) y ν ν!. {\ Displaystyle G ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} \ right)} (x, y) = \ sum _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} R _ {\ nu } ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x) {\ frac {y ^ {\ nu}} {\ nu!}}.}.}

{\ displaystyle G ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} \ right)} (x, y) = \ sum _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} R _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x) {\ frac {y ^ {\ nu}} {\ ню!}}.}

(19)

Различия в обозначениях между Вебером и используемыми здесь резюмируются следующим образом:

G (x, y) здесь по сравнению с Q (x, y; α, −a) там, α там в место α n здесь,
a = −β n - n и
Q. ν(x) в уравнении (15) Вебера, соответствующем R. ν(x) здесь.

Обсуждаемая производящая функция, полученная в Вебере, теперь имеет следующий вид:

G (α n, β n) (x, y) = (1 + x 2) - β n - n + 1 exp ⁡ (α n arccot ​​⁡ x) (1 + (x + y (1 + x 2)) 2) - (- β n - n + 1) exp ⁡ (- α n arccot ​​⁡ (x + y (1 + x 2)) {\ displaystyle G ^ {(\ alpha _ {n}, \ beta _ {n})} (x, y) = \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {- \ бета _ {n} -n + 1} \ exp \ left (\ alpha _ {n} \ operatorname {arccot} x \ right) \ left (1+ \ left (x + y \ left (1 + x ^ {2 } \ right) \ right) ^ {2} \ right) ^ {- \ left (- \ beta _ {n} -n + 1 \ right)} \ exp \ left (- \ alpha _ {n} \ operatorname { arccot} \ left (x + y \ left (1 + x ^ {2}) \ right) \ right) \ right.}

{\ displaystyle G ^ {(\ alpha _ {n}, \ beta _ {n})} (x, y) = \ left (1 + x ^ {2} \ right) ^ {- \ beta _ {n} -n + 1} \ exp \ left (\ alpha _ {n} \ имя оператора {arccot} x \ right) \ left (1+ \ left (x + y \ left (1 + x ^ {2} \ right) \ right) ^ {2} \ right) ^ {- \ left (- \ бета _ {n} -n + 1 \ right)} \ exp \ left (- \ alpha _ {n} \ operatorname {arccot} \ left (x + y \ left (1 + x ^ {2} \ right) \ right) \ right.}

(20)

Рекуррентные соотношения

Рекуррентные соотношения между бесконечным ортогональным рядом многочленов Романовского с параметрами в приведенных выше уравнениях (14) следуют из производящей функции ,

ν (ν + 1 - 2 (β n + n)) R ν - 1 (α n, β n + n - ν + 1) (x) + ddx R ν (α N, β N + N - ν) (Икс) знак равно 0, {\ Displaystyle \ Nu {\ bigl (} \ Nu + 1-2 (\ beta _ {n} + n) {\ bigr)} R _ {\ nu -1} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu +1 \ right)} (x) + {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d}} x}} R _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x) = 0,}

{\ displaystyle \ nu {\ bigl (} \ nu + 1-2 (\ beta _ {n} + n) {\ bigr)} R _ {\ nu -1 } ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu +1 \ right)} (x) + {\ frac {\ mathrm {d}} {{\ mathrm {d }} x}} R _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} (x) = 0,}

( 21)

R ν + 1 (α n, β n + n - ν - 1) (x) = (α n - 2 x (- β n - n + ν + 1)) R ν (α n, β n + n - ν) - ν (1 + x 2) (2 (- β n - n) + ν + 1) R ν - 1 (α n, β n + n - ν + 1), {\ Displaystyle R _ {\ nu +1} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu -1 \ right)} (x) = {\ bigl (} \ alpha _ {n} -2x (- \ beta _ {n} -n + \ nu +1) {\ bigr)} R _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} - ​​\ nu \ left (1 + x ^ {2} \ right) {\ b igl (} 2 (- \ beta _ {n} -n) + \ nu +1 {\ bigr)} R _ {\ nu -1} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu +1 \ right)},}

{\ displaystyle R _ {\ nu +1} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu -1 \ right)} (x) = {\ bigl (} \ alpha _ {n} -2x (- \ beta _ {n} -n + \ nu +1) {\ bigr)} R _ {\ nu} ^ {\ left (\ alpha _ {n}, \ beta _ {n} + n- \ nu \ right)} - ​​\ nu \ left (1 + x ^ {2} \ right) {\ bigl (} 2 (- \ beta _ {n} -n) + \ nu +1 {\ bigr)} R _ {\ nu -1} ^ {\ left (\ alpha _ {n }, \ beta _ {n} + n- \ nu +1 \ right)},}

(22)

как уравнения (10) и (23) Вебера (2007) соответственно.

См. Также

Ссылки