Пористый набор

В математике пористый набор является концепцией при изучении метрические пространства. Подобно концепциям скудных и наборов с нулевой мерой, пористый набор можно считать «разреженным» или «недостаточно объемным»; однако пористые наборы не эквивалентны ни скудным наборам, ни наборам нулевой меры, как показано ниже.

Пусть (X, d) будет полным метрическим пространством и пусть E будет подмножеством X. Пусть B (x, r) обозначает замкнутый шар в (X, d) с центром x ∈ X и радиусом r>0. E называется пористым, если существуют такие константы 0 < α < 1 and r0>0, что для каждого 0 < r ≤ r0 и каждого x ∈ X существует некоторая точка y ∈ X с

$B\; (y,\; \alpha \; r)\; \subseteq \; B\; (x,\; r)\; \setminus \; E.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (y,\; \backslash \; alpha\; r)\; \backslash \; substeq\; B\; (x,\; r)\; \backslash \; setminus\; E.\}$

Подмножество X называется σ-пористым, если оно является счетным объединение пористых подмножеств X.

• Любой пористый набор нигде не плотен. Следовательно, все σ-пористые множества являются скудными множествами (или первой категории ).
• Если X - конечномерное евклидово пространство R, то пористые подмножества являются множествами меры Лебега ноль.
• Однако существует не-σ-пористое подмножество P из R, которое относится к первой категории и с нулевой мерой Лебега. Это известно как Зайичек. Теорема .
• Связь между пористостью и отсутствием плотности можно проиллюстрировать следующим образом: если E нигде не плотно, то для x ∈ X и r>0 существует точка y ∈ X и s>0 такая, что

$B\; (y,\; s)\; \subseteq \; B\; (x,\; r)\; \setminus \; E.\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\; (y,\; s)\; \backslash \; substeq\; B\; (x,\; r)\; \backslash \; setminus\; E.\}$

Однако, если E также пористый, то можно взять s = αr (по крайней мере, для достаточно малого r), где 0 < α < 1 is a constant that depends only on E.

• Reich, Simeon; Zaslavski, Alexander J. (2002). «Два результата сходимости для методов непрерывного спуска». Журнал дифференциальных уравнений. 2002 (24): 1–11. ISSN 1072-6691.
• Зайичек, Л. (1987–1988). «Пористость и σ -пор osity ". Настоящий анал. Обмен. 13 (2): 314–350. ISSN 0147-1937.MR 943561