Оператор Пуанкаре – Стеклова

В математике - оператор Пуанкаре – Стеклова (после Анри Пуанкаре и Владимир Стеклов ) отображает значения одного граничного условия решения эллиптического уравнения в частных производных в области к значениям другого граничного условия. Обычно решение определяется одним из граничных условий. Таким образом, оператор Пуанкаре – Стеклова инкапсулирует граничный отклик системы, моделируемой уравнением в частных производных. Когда уравнение в частных производных дискретизируется, например, с помощью конечных элементов или конечных разностей, дискретизация оператора Пуанкаре – Стеклова представляет собой дополнение Шура, полученное путем исключения все степени свободы внутри домена.

Обратите внимание, что может быть много подходящих различных граничных условий для данного уравнения в частных производных, и направление, в котором оператор Пуанкаре – Стеклова отображает значения одного в другое, задается только условно.

• 1 Оператор Дирихле – Неймана в ограниченной области
• 2 Оператор Дирихле – Неймана для граничного условия на бесконечности
• 3 Оператор Пуанкаре – Стеклова в электромагнетизме
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Рассмотрим установившееся распределение температуры в теле при заданных значениях температуры тела. поверхность. Затем результирующий тепловой поток через границу (то есть тепловой поток, который потребуется для поддержания заданной температуры поверхности) определяется однозначно. Отображение температуры поверхности в поток тепла поверхности является оператором Пуанкаре – Стеклова. Этот конкретный оператор Пуанкаре – Стеклова называется оператором Дирихле – Неймана (DtN). Значения температуры на поверхности являются граничным условием Дирихле из уравнения Лапласа, которое описывает распределение температуры внутри тела. Тепловой поток через поверхность является граничным условием Неймана (пропорционален нормальной производной температуры).

Математически для функции $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$гармоника в области $\Omega \; \subset \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; \backslash \; subset\; R\; ^\; \{n\}\}$, оператор Дирихле-Неймана отображает значения $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$на границе $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$к нормальной производной $\partial \; u\; /\; \partial \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; u\; /\; \backslash \; partial\; n\}$на границе $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$. Этот оператор Пуанкаре – Стеклова лежит в основе итерационной подструктуризации.

обратной краевой задачи Кальдерона, которая заключается в нахождении коэффициента эллиптического дифференциального уравнения с частными производными дивергентной формы из его оператора Дирихле-Неймана.. Это математическая формулировка томографии электрического импеданса.

Решение уравнения в частных производных во внешней области дает поднимаются до оператора Пуанкаре – Стеклова, переводящего граничное условие с бесконечности на границу. Одним из примеров является оператор Дирихле-Неймана, который отображает заданную температуру на границе полости в бесконечной среде с нулевой температурой на бесконечности в тепловой поток на границе полости. Аналогичным образом можно определить оператор Дирихле – Неймана на границе сферы для решения уравнения Гельмгольца во внешности сферы. Аппроксимации этого оператора лежат в основе класса методов моделирования акустического рассеяния в бесконечной среде с рассеивателем, заключенным в сферу, и оператором Пуанкаре – Стеклова, выступающим в качестве неотражающего (или поглощающего) граничного условия.

Оператор Пуанкаре – Стеклова определяется как оператор, отображающий гармонику времени (то есть, зависящую от времени как $ei\; \omega \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; omega\; t\}\}$) касательное электрическое поле на границе области к эквивалентному электрическому току на ее границе.

• Взаимодействие жидкости и структуры (граница / интерфейс) анализ
• Метод декомпозиции области дополнения Шура

• Лебедев, В.И. Агошков, В. И. Оператор Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. [Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе] Академик. Наук СССР, Выч. Мет. Центр, Москва, 1983. 184 с. MR 827980
• Василевский П.С. Операторы Пуанкаре – Стеклова для эллиптических разностных задач. C. R. Acad. Bulgare Sci. 38 (1985), нет. 5, 543–546. MR 799809

1. ^А. Боссавит, «Скалярный» оператор Пуанкаре – Стеклова и «векторный» оператор: алгебраические структуры, лежащие в основе их двойственности. В Четвертом международном симпозиуме по методам декомпозиции областей для уравнений с частными производными (Москва, 1990), стр. 19–26. SIAM, Philadelphia, PA, 1991.
2. ^Альфио Квартерони и Альберто Валли, Методы разложения доменов для уравнений с частными производными, Oxford Science Publications, 1999
3. ^Асад А. Обераи, Маниш Малхотра и Питер М. Пинский, О реализации условия излучения Дирихле-Неймана для итерационного решения уравнения Гельмгольца. Appl. Нумер. Math., 27 (4): 443–464, 1998.
4. ^Л. Ф. Ноккарт, О комплексной симметрии оператора Дирихле-Неймана, Progress in Electromagnetics Research B, Vol. 7, 145–157, 2008. doi :10.2528/PIERB08022102