Нормализованная частота (единицы)

Нормализованная частота - это единица измерения из частоты эквивалент циклов / образец. В цифровой обработке сигналов (DSP) непрерывная временная переменная t в секундах заменяется дискретной целочисленной переменной n с единицами измерения образцов. Точнее, переменная времени в секундах была нормализована (разделена) на интервал выборки, T (секунды / выборка), что приводит к тому, что время имеет удобные целочисленные значения в моменты выборки. Эта практика аналогична концепции натуральных единиц, означающих, что естественной единицей времени в системе DSP являются сэмплы.

Нормализованное значение частотной переменной $f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\}$(циклов / сек): $f\; /\; fs,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; /\; f\_\; \{s\},\}$где $fs\; =\; 1\; /\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\_\; \{s\}\; =\; 1\; /\; T\}$- частота дискретизации в отсчетах / сек. Максимальная частота, которая может быть однозначно представлена ​​цифровыми данными, составляет $fs\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\_\; \{s\}\; /\; 2\}$(известная как частота Найквиста ), когда образцы являются действительными числами, а $fs\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\_\; \{s\}\}$, когда образцы являются комплексными числами. Нормализованные значения этих пределов составляют соответственно 0,5 и 1,0 цикла / образец. Это имеет преимущество простоты, но (аналогично натуральным единицам ) существует потенциальный недостаток с точки зрения потери ясности и понимания, поскольку эти константы $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; T\}$и $fs\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\_\; \{s\}\}$затем исключаются из математических выражений физических законов.

Простота, предлагаемая нормализованными единицами, отдается предпочтениям в учебниках, где пространство ограничено и где реальные единицы являются второстепенными для точки теоремы или ее доказательства. Но есть еще одно преимущество в области DSP (по сравнению с физикой), потому что $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; T\}$и $fs\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\_\; \{s\}\}$не являются «универсальными физическими константами». Использование нормализованной частоты позволяет нам представить концепции, универсальные для всех частот дискретизации, способом, который не зависит от частоты дискретизации. Примером такой концепции является конструкция цифрового фильтра, полоса пропускания которого указывается не в герцах, а в процентах от частоты дискретизации данных, проходящих через него. Формулы, выраженные в терминах $fs\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\_\; \{s\}\}$и / или $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; T\}$, легко преобразовываются в нормализованные частота путем установки этих параметров на 1. Обратная операция обычно выполняется путем замены экземпляров параметра частоты, $f,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f,\}$на $f\; /\; fs\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; /\; f\_\; \{s\}\}$или $f\; \cdot \; T.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; \backslash \; cdot\; T.\}$

Некоторые программы (например, MATLAB ), которые проектируют фильтры с действительными коэффициентами, используют частоту Найквиста ($fs\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\_\; \{s\}\; /\; 2\}$) в качестве константы нормализации . Результирующая нормализованная частота имеет единицы полупериодов / выборку или, что эквивалентно, циклов на 2 выборки.

Иногда ненормализованная частота представлена ​​в единицах радиан / секунду (угловая частота ) и обозначается $\omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; omega.\}$Когда $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; omega\}$нормализуется по частоте дискретизации (отсчетов / сек), результирующие единицы радианы / образец. Нормализованная частота Найквиста равна π радиан / отсчет, а нормализованная частота дискретизации - 2π радиан / отсчет.

В следующей таблице приведены примеры нормализованных частот для сигнала 1 кГц, частота дискретизации $fs\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{s\}\}\}$= 44,1 кГц, и 3 различных варианта нормализованных единиц. Также показана частотная область, содержащая один цикл дискретного преобразования Фурье, которое всегда является периодической функцией.

• Фильтр прототипа