Нормальная форма (динамические системы)

В математике нормальная форма динамической системы - это упрощенная форма, которая может быть полезна при определении поведения системы.

Нормальные формы часто используются для определения локальных бифуркаций в системе. Все системы, демонстрирующие определенный тип бифуркации, локально (около равновесия) топологически эквивалентны нормальной форме бифуркации. Например, нормальная форма бифуркации седло-узел - это

$dxdt\; =\; \mu \; +\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\; \}\; =\; \backslash \; mu\; +\; x\; ^\; \{2\}\}$

где $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$- параметр бифуркации. Транскритическая бифуркация

$dxdt\; =\; r\; ln\; \; x\; +\; x\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; =\; r\; \backslash \; ln\; x\; +\; x-1\}$

рядом с $x\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; 1\}$можно преобразовать в нормальную форму

$dudt\; =\; \mu \; u\; -\; u\; 2\; +\; O\; (u\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; u\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; =\; \backslash \; mu\; uu\; ^\; \{2\}\; +\; O\; (u\; ^\; \{3\})\}$

с преобразованием $u\; =\; x\; -\; 1,\; \mu \; =\; r\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; x-1,\; \backslash \; mu\; =\; r\; +\; 1\}$.

См. также каноническая форма для использования терминов каноническая форма, нормальная форма или стандартная форма, в более общем смысле в математике.

• Guckenheimer, John; Холмс, Филип (1983), Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей, Springer, раздел 3.3, ISBN 0-387-90819-6
• Кузнецов, Юрий А. ( 1998), Элементы прикладной теории бифуркаций (второе издание), Springer, раздел 2.4, ISBN 0-387-98382-1
• Мердок, Джеймс (2006). «Нормальные формы». Scholarpedia. 1 (10): 1902. Bibcode : 2006SchpJ... 1.1902M. doi : 10.4249 / scholarpedia.1902. Проверено 4 декабря 2016 г.
• Мердок, Джеймс (2003). Нормальные формы и развертки для локальных динамических систем. Springer. ISBN 978-0-387-21785-7.

.