В идемпотентном анализе тропическое полукольцо представляет собой полукольцо из расширенных действительных чисел с операциями минимум (или максимум ) и сложение, заменяющее обычные («классические») операции сложения и умножения соответственно.
Тропическое полукольцо имеет различные применения (см. тропический анализ ) и составляет основу тропической геометрии.
Минимальное тропическое полукольцо (или мин-плюс полукольцо или мин-плюс алгебра ) - это полукольцо (ℝ ∪ {+ ∞}, ⊕, ⊗) с операциями:
Операции ⊕ и ⊗ называются тропическим сложением и тропическим умножением соответственно. Единица для - + ∞, а для - 0.
Аналогично, максимальное тропическое полукольцо (или полукольцо макс-плюс или алгебра макс-плюс ) - полукольцо (ℝ ∪ {−∞}, ⊕, ⊗) с операциями:
Единицей измерения ⊕ является −∞, а единицей - 0.
Эти полукольца изоморфны при отрицании , и обычно выбирается одно из них, которое обозначается просто как тропическое полукольцо. Соглашения различаются между авторами и подполями: некоторые используют соглашение min, некоторые используют соглашение max.
Тропическое сложение - это идемпотент, таким образом, тропическое полукольцо является примером идемпотентного полукольца.
Тропическое полукольцо также называется тропической алгеброй, хотя это не следует путать с ассоциативной алгеброй над тропическим полукольцом.
Тропическое возведение в степень определяется обычным образом как повторяющиеся тропические произведения (см. Возведение в степень § в абстрактной алгебре ).
Операции с тропическим полукольцом моделируют поведение оценок при сложении и умножении в значном поле. Поле K с действительными значениями - это поле, снабженное функцией
который удовлетворяет следующим свойствам для всех a, b в K:
Следовательно, оценка v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может не работать, когда добавляются два элемента с одинаковым значением все вместе.
Некоторые поля с общими значениями: